NCERT Solutions Class 6 Maths Chapter 9 सममिति
1) निम्नलिखित प्रत्येक आकृति के लिए, यदि समरूपता रेखा (रेखाएँ) मौजूद है, तो उसकी पहचान कीजिए।
उत्तर:
समरूपता रेखा(एँ)
अन्य आकृतियों में समरूपता की रेखाएँ नहीं होती हैं।
समझ से बाहर:
1) निम्नलिखित प्रत्येक आकृति में, कागज की एक मुड़ी हुई वर्गाकार शीट में एक छेद किया गया और फिर कागज को खोला गया। उस रेखा को पहचानें जिसके अनुदिश कागज को मोड़ा गया था। आकृति (d) एक छेद करके बनाई गई थी। कागज को कैसे मोड़ा गया था?
उत्तर:
2) समरूपता की रेखा(ओं) को देखते हुए, अन्य छेद(नों) का पता लगाएं:
उत्तर:
4) निम्नलिखित प्रत्येक कटाई के बाद, कागज़ खोलने पर छेद के आकार का अनुमान लगाइए। अपना अनुमान लगाने के बाद, कटाई कीजिए और अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
5) मान लीजिए कि आपको इन आकृतियों में से प्रत्येक को कुछ तहों और एक सीधी कटाई के साथ प्राप्त करना है। आप इसे कैसे करेंगे?
(क) केंद्र में स्थित छेद एक वर्ग है।
ख) केंद्र में स्थित छेद एक वर्ग है।
(नोट: उपरोक्त दोनों प्रश्नों के लिए, यह जांचें कि केंद्र में स्थित चार भुजाओं वाली आकृतियाँ वर्ग के दोनों गुणों को संतुष्ट करती हैं या नहीं।)
6) इन आकृतियों में समरूपता की कितनी रेखाएँ हैं?
मैं।)
पहली आकृति में 4 समरूपता रेखाएँ हैं और दूसरी आकृति में 8 समरूपता रेखाएँ हैं।
ii.) एक त्रिभुज जिसकी भुजाएँ और कोण बराबर हों।
इस त्रिभुज में समरूपता की 3 रेखाएँ हैं।
iii.) एक षट्भुज जिसकी भुजाएँ और कोण बराबर हों
इस षट्भुज में समरूपता की 6 रेखाएँ हैं।
7) प्रत्येक आकृति का रेखाचित्र बनाएं और यदि कोई समरूपता रेखा हो तो उसे खींचें:
8) नीचे दिए गए कोलम के लिए समरूपता रेखाएँ ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
9) निम्नलिखित का चित्र बनाइए।
(क) एक त्रिभुज जिसमें ठीक एक समरूपता रेखा हो
ख) एक त्रिभुज जिसमें ठीक तीन समरूपता रेखाएँ हों
(ग) एक त्रिभुज जिसमें कोई समरूपता रेखा नहीं है
उत्तर:
क्या एक त्रिभुज को ठीक दो समरूपता रेखाओं के साथ बनाना संभव है?
उत्तर:
नहीं, ऐसा त्रिभुज बनाना संभव नहीं है जिसमें ठीक दो समरूपता रेखाएँ हों।
10) निम्नलिखित आकृति का चित्र बनाइए। प्रत्येक आकृति में कम से कम एक वक्रित सीमा होनी चाहिए।
(क) एक ऐसी आकृति जिसमें ठीक एक ही समरूपता रेखा हो
ख) एक आकृति जिसमें ठीक दो समरूपता रेखाएँ हों
ग) एक आकृति जिसमें ठीक चार समरूपता रेखाएँ हों
उत्तर:
11) निम्नलिखित को वर्गाकार कागज पर उतारें। इन्हें इस प्रकार पूरा करें कि नीली रेखा समरूपता की रेखा हो। समस्या (क) आपके लिए हल कर दी गई है।
उत्तर:
12) निम्नलिखित चित्र को वर्गाकार कागज पर उतारें। प्रत्येक रेखा को इस प्रकार पूर्ण करें कि परिणामी आकृति में दो नीली रेखाएँ समरूपता की रेखाएँ हों।
उत्तर:
13) निम्नलिखित को डॉट ग्रिड पर कॉपी करें। प्रत्येक आकृति के लिए दो और रेखाएँ खींचकर एक ऐसी आकृति बनाएँ जिसमें समरूपता की रेखा हो।
उत्तर:
9.2 घूर्णी समरूपता
समझ से बाहर:
1) दिए गए चित्रों के लिए चिह्नित बिंदु के सापेक्ष समरूपता कोण ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
आइए आकृति को उसके केंद्र के चारों ओर दक्षिणावर्त दिशा में घुमाएँ।
90° घुमाने पर मूल छवि प्राप्त हो जाती है। अतः, एक आकृति दूसरी आकृति को आच्छादित कर देती है।
इस स्थिति से 90° का एक और घुमाव मूल आकार देता है और यह ओवरलैप भी करता है।
हम देखते हैं कि 90 डिग्री घुमाने के बाद आकृति स्वयं से ओवरलैप हो जाती है।
इस आकृति के लिए समरूपता कोण 90°, 180°, 270° और 360° हैं।
उत्तर:
आइए आकृति को उसके केंद्र के चारों ओर दक्षिणावर्त दिशा में घुमाएँ।
180° घुमाने पर ऊपर दी गई छवि प्राप्त होती है। इसलिए, छवि आकृति को ओवरलैप नहीं करती है।
इस स्थिति से 180° का एक और घुमाव मूल आकृति को वापस ला देता है।
हम देखते हैं कि 360 डिग्री घुमाने के बाद आकृति स्वयं से ही ओवरलैप हो जाती है।
इस आकृति के लिए समरूपता कोण 360° है।
उत्तर:
आइए आकृति को उसके केंद्र के चारों ओर दक्षिणावर्त दिशा में घुमाएँ।
90° घुमाने पर ऊपर दी गई छवि प्राप्त होती है। इसलिए, छवि आकृति को ओवरलैप नहीं करती है।
इस स्थिति से 90 डिग्री का एक और घुमाव मूल आकृति को वापस ला देता है।
हम देखते हैं कि 180 डिग्री घुमाने के बाद आकृति स्वयं से ओवरलैप हो जाती है।
इस आकृति के लिए, समरूपता के कोण 180° और 360° हैं।
2) निम्नलिखित में से किस आकृति में एक से अधिक समरूपता कोण हैं?
उत्तर:
90 डिग्री घुमाने पर मूल छवि प्राप्त हो जाती है।
हम देखते हैं कि 90 डिग्री घुमाने के बाद आकृति स्वयं से ओवरलैप हो जाती है।
इस आकृति के लिए समरूपता कोण 90°, 180°, 270° और 360° हैं।
अतः, निम्नलिखित आकृति में एक से अधिक समरूपता कोण हैं।
उत्तर:
120° घुमाने पर मूल छवि प्राप्त होती है।
हम देखते हैं कि 120 डिग्री घुमाने के बाद आकृति स्वयं से ओवरलैप हो जाती है।
इस आकृति के लिए समरूपता कोण 120°, 240° और 360° हैं।
अतः, निम्नलिखित आकृति में एक से अधिक समरूपता कोण हैं।
उत्तर:
120° घुमाने पर मूल छवि प्राप्त होती है।
हम देखते हैं कि 120 डिग्री घुमाने के बाद आकृति स्वयं से ओवरलैप हो जाती है।
इस आकृति के लिए समरूपता कोण 120°, 240° और 360° हैं।
अतः, निम्नलिखित आकृति में एक से अधिक समरूपता कोण हैं।
उत्तर:
90 डिग्री घुमाने पर मूल छवि प्राप्त हो जाती है।
हम देखते हैं कि 90 डिग्री घुमाने के बाद आकृति स्वयं से ओवरलैप हो जाती है।
इस आकृति के लिए समरूपता कोण 90°, 180°, 270° और 360° हैं।
अतः, निम्नलिखित आकृति में एक से अधिक समरूपता कोण हैं।
90 डिग्री घुमाने पर मूल छवि प्राप्त हो जाती है।
हम देखते हैं कि 90 डिग्री घुमाने के बाद आकृति स्वयं से ओवरलैप हो जाती है।
इस आकृति के लिए समरूपता कोण 90°, 180°, 270° और 360° हैं।
अतः, निम्नलिखित आकृति में एक से अधिक समरूपता कोण हैं।
उत्तर:
72° घुमाने पर मूल छवि प्राप्त होती है।
हम देखते हैं कि 72 डिग्री घुमाने के बाद आकृति स्वयं से ओवरलैप हो जाती है।
इस आकृति के लिए समरूपता कोण 72°, 144°, 216°, 288° और 360° हैं।
अतः, निम्नलिखित आकृति में एक से अधिक समरूपता कोण हैं।
उत्तर:
हम देखते हैं कि 360 डिग्री के एक पूर्ण घूर्णन के बाद आकृति स्वयं से अतिव्यापी हो जाती है।
अतः, निम्नलिखित आकृति में समरूपता का एक से अधिक कोण नहीं है।
3) प्रत्येक आकृति के लिए घूर्णीय समरूपता का क्रम बताइए:
उत्तर:
360 डिग्री के एक पूर्ण घूर्णन के बाद आकृति स्वयं से अतिव्यापी हो जाती है।
यह आकृति 90°, 180°, 270° और 360° घुमाने के बाद स्वयं से अतिव्यापी हो जाती है।
उत्तर:
यह आकृति 60°, 120°, 180°, 240°, 300° और 360° घुमाने के बाद स्वयं से अतिव्यापी हो जाती है।
उत्तर:
यह आकृति 120°, 240° और 360° घुमाने के बाद स्वयं से ही अतिव्यापी हो जाती है।
उत्तर:
यह आकृति 90°, 180°, 270° और 360° घुमाने के बाद स्वयं से अतिव्यापी हो जाती है।
यह आकृति 72°, 144°, 216°, 288° और 360° घुमाने के बाद स्वयं से अतिव्यापी हो जाती है।
समझ से बाहर:
1) नीचे दिए गए वृत्त के त्रिज्यखंडों को इस प्रकार रंगें कि आकृति में i) 3 समरूपता कोण हों, ii) 4 समरूपता कोण हों, iii) त्रिज्यखंडों को अलग-अलग तरीकों से रंगने पर समरूपता कोणों की संभावित संख्या क्या हो सकती है?
2) वृत्त और वर्ग के अलावा दो ऐसी आकृतियाँ बनाइए जिनमें परावर्तन समरूपता और घूर्णी समरूपता दोनों हों।
उत्तर:
3) जहाँ तक संभव हो, एक मोटा-मोटा रेखाचित्र बनाएँ।
a) एक त्रिभुज जिसमें कम से कम दो समरूपता रेखाएँ और कम से कम दो समरूपता कोण हों।
उत्तर:
b) एक त्रिभुज जिसमें केवल एक समरूपता रेखा हो लेकिन घूर्णी समरूपता न हो।
उत्तर:
ग) एक चतुर्भुज जिसमें घूर्णी समरूपता हो लेकिन परावर्तन समरूपता न हो।
उत्तर:
d) एक चतुर्भुज जिसमें परावर्तन समरूपता तो है लेकिन घूर्णीय समरूपता नहीं है।
उत्तर:
4) एक आकृति में, 60° समरूपता का सबसे छोटा कोण है। इस आकृति के अन्य समरूपता कोण क्या हैं?
उत्तर:
इस आकृति के अन्य समरूपता कोण 120°, 180°, 240°, 300° और 360° हैं।
5) एक आकृति में, 60° समरूपता कोण है। आकृति में दो समरूपता कोण 60° से कम हैं। इसका सबसे छोटा समरूपता कोण क्या है?
उत्तर:
इस आकृति में समरूपता के दो कोण 60° से कम हैं, इसलिए इसका सबसे छोटा समरूपता कोण 60°/2 = 30° है।
6) क्या हम घूर्णी समरूपता वाली ऐसी आकृति बना सकते हैं जिसका सबसे छोटा समरूपता कोण हो?
45°?
17°?
उत्तर:
360° 45° का गुणज है, इसलिए आकृति में घूर्णी समरूपता है।
लेकिन 360° 17° का गुणज नहीं है, इसलिए इसमें घूर्णी समरूपता नहीं है।
7) यह दिल्ली में नए संसद भवन की तस्वीर है।
a) क्या चित्र की बाहरी सीमा परावर्तन समरूपता है? यदि हाँ, तो समरूपता रेखाएँ खींचिए। उनकी संख्या कितनी है?
उत्तर:
हां, छवि की बाहरी सीमा में परावर्तन समरूपता है।
इस चित्र में 3 समरूपता रेखाएँ हैं।
b) क्या इसमें केंद्र के चारों ओर घूर्णी समरूपता है? यदि हां, तो घूर्णी समरूपता के कोण ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
हां, इसमें अपने केंद्र के चारों ओर घूर्णी समरूपता है।
घूर्णीय समरूपता के कोण 120°, (120° + 120°) = 240° और (120° + 120° + 120°) = 360° हैं।
11) अशोक चक्र में समरूपता की कितनी रेखाएँ और समरूपता के कितने कोण होते हैं?
उत्तर:
अशोक चक्र में 24 तीलियाँ होती हैं, इसलिए इसमें 24 समरूपता रेखाएँ होती हैं और समरूपता कोण 360°/24 = 15° होता है।