निर्माणों के साथ खेलना

NCERT Solutions Class 6 Maths Chapter 8 निर्माणों के साथ खेलना

8.1 कलाकृति निर्माण (पृष्ठ संख्या 190 – 191)

प्रश्न 1.
एक व्यक्ति।
दी गई आकृति में एक व्यक्ति का चित्र बनाइए। आप इसे कैसे बनाएंगे?

इस आकृति के दो भाग हैं।

आपने पहले भाग को बनाने का तरीका शायद खोज लिया होगा। दूसरे भाग को बनाने के लिए इसे देखें।

यहाँ चुनौती यह पता लगाना है कि इस वक्र को बनाने के लिए कंपास की नोक कहाँ रखनी है और त्रिज्या क्या लेनी है। आप कंपास में एक त्रिज्या निर्धारित कर सकते हैं और वक्र प्राप्त करने के लिए कंपास की नोक को विभिन्न स्थानों पर रखकर देख सकते हैं कि कौन सा बिंदु सबसे उपयुक्त है। अपनी अनुमान के आधार पर निर्धारित करें कि नोक कहाँ रखनी है।
हल:
चरण 1. हम चित्र के आधार से शुरू करते हैं। हम 4 सेमी लंबाई की एक रेखा AB को आधार मानते हैं। (चित्र 1) चरण 2.

A और B पर, एक प्रोटेक्टर का उपयोग करके लंबवत रेखाएँ खींचिए। (चित्र 2)

चरण 3. एक रूलर का उपयोग करके, बिंदु C और D को इस प्रकार चिह्नित करें कि AC = 4 सेमी और BD = 4 सेमी हो। C और D को एक रेखा से मिलाएँ। (चित्र 3) चरण 4.

एक रूलर का उपयोग करके, CD पर बिंदु M को इस प्रकार चिह्नित करें कि CM = 2 सेमी हो। M, CD का मध्यबिंदु है। एक चांदा का उपयोग करके, M पर CD पर एक लंब खींचिए। इस लंब पर एक बिंदु P इस प्रकार लीजिए कि PM = 2 cm हो। दूरी PM, 2 cm से थोड़ी कम या थोड़ी अधिक भी हो सकती है। (चित्र 4)

चरण 5. PD को मिलाइए। P को केंद्र मानकर, D से C तक PD के बराबर त्रिज्या का एक चाप खींचिए। P को केंद्र मानकर, 1.5 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। PM को चाप को स्पर्श करने के लिए बढ़ाइए। (चित्र 5)

चरण 6. चित्र 5 में अतिरिक्त रेखाओं को चित्र 6 के अनुसार मिटा दीजिए।

चरण 7. चित्र 6 दिए गए "एक व्यक्ति" का आवश्यक चित्रण दर्शाता है।

प्रश्न 2.
तरंगीय तरंग
का निर्माण कीजिए।
दी गई आकृति में एक "तरंगीय तरंग" का चित्र बनाइए, जिसमें तरंगें अर्धवृत्त हों।

केंद्रीय रेखा की लंबाई निर्दिष्ट नहीं है, इसलिए हम इसे किसी भी लंबाई का मान सकते हैं।
मान लीजिए AB केंद्रीय रेखा है, जिसकी लंबाई 8 सेमी है। इसे हम AB = 8 सेमी लिखते हैं।
यहाँ, पहली तरंग को अर्धवृत्त के रूप में बनाया गया है।

हल:
चरण 1. मान लीजिए हम 8 सेमी लंबाई की केंद्रीय रेखा AB से शुरू करते हैं। (चित्र 1)

चरण 2. चूंकि 8 ÷ 2 = 4, इसलिए एक रूलर का उपयोग करके AB पर बिंदु C इस प्रकार लीजिए कि AC = 4 सेमी हो। C, AB का मध्य बिंदु है।
चूंकि 4 ÷ 2 = 2, इसलिए एक रूलर का उपयोग करके AC पर बिंदु D और CB पर बिंदु E इस प्रकार लीजिए कि AD = 2 सेमी और CE = 2 सेमी हो। D, AC का मध्य बिंदु है और E, CB का मध्य बिंदु है। (चित्र 2)

चरण 3. D को केंद्र मानकर, रेखा AB के ऊपर 2 सेमी त्रिज्या का एक अर्धवृत्त खींचिए। E को केंद्र मानकर, रेखा AB के नीचे 2 सेमी त्रिज्या का एक अर्धवृत्त खींचिए। (चित्र 3)

चरण 4. रेखा AB के ऊपर और नीचे बने अर्धवृत्तों में ऊर्ध्वाधर रेखाएँ खींचिए। (चित्र 4)

चरण 5. चित्र 4 दी गई "लहरदार तरंग" का आवश्यक चित्रण दर्शाता है।

प्रश्न 3.
आँखें:
आप कंपास की सहायता से इन आँखों को कैसे बनाएँगे?

दी गई आकृति में "आँखों" को दर्शाने वाली एक आकृति बनाएँ।
हल:
चरण 1. 8.5 सेमी (4 सेमी + 0.5 सेमी + 4 सेमी) लंबाई की एक रेखा AB को आधार मानिए। AB पर बिंदु C और D इस प्रकार लीजिए कि AC = 4 सेमी और AD = 4.5 सेमी (4 सेमी + 0.5 सेमी)। (चित्र 1)

चरण 2. AB पर बिंदु E और F इस प्रकार लीजिए कि AE = 2 सेमी और FB = 2 सेमी। E, AC का मध्यबिंदु है और F, DB का मध्यबिंदु है। (चित्र 2)

चरण 3. एक प्रोटेक्टर का उपयोग करके, E और F पर लंब खींचिए। (चित्र 3)

चरण 4. एक रूलर का उपयोग करके, बिंदु G, H, I और J इस प्रकार लीजिए कि EG, EH, FI और FJ सभी 1.5 सेमी के बराबर हों। समान दूरियाँ 1.5 सेमी से थोड़ी कम या थोड़ी अधिक भी हो सकती हैं (चित्र 4)।

चरण 5. केंद्र G को मानकर, A से C तक AG के बराबर त्रिज्या का चाप खींचिए। इसी प्रकार, केंद्र H, I और J को मानकर AG के बराबर त्रिज्या के चाप खींचिए। चित्र 5 में दिखाए अनुसार अतिरिक्त रेखाओं को मिटा दीजिए।

चरण 6. बिंदु E और F पर दो बड़े आकार के काले बिंदु बनाइए। (चित्र 6)

चरण 7. चित्र "आँखों" का आवश्यक चित्रण दर्शाता है।

8.1 कलाकृति इसे समझें (पृष्ठ 191)

प्रश्न 1.
एक तरंग की निम्नलिखित आकृति पर विचार करें।

चूंकि केंद्रीय रेखा की लंबाई निर्दिष्ट नहीं है, इसलिए हम इसे किसी भी लंबाई का मान सकते हैं। आइए AB को केंद्रीय रेखा तक इस प्रकार लें कि AB की लंबाई 8 सेमी हो। यहां पहली तरंग को अर्धवृत्त के रूप में दर्शाया गया है।

इस अर्धवृत्त को प्राप्त करने के लिए कंपास में त्रिज्या क्या होनी चाहिए? AX की लंबाई क्या होनी चाहिए?
हल:
हमारे पास AB = 8 सेमी है।
चूंकि "लहरदार तरंग" में दो बराबर अर्धवृत्त हैं, इसलिए AX = XB।
∴ X, AB का मध्य बिंदु है।
∴ AX =82= 4 सेमी
∴ अक्ष की लंबाई 4 सेमी है।
मान लीजिए M अक्ष का मध्यबिंदु है।
∴ AM = MX =82
अर्धवृत्त का केंद्र M है। अतः अर्धवृत्त की
त्रिज्या = AM = 2 cm
है।

प्रश्न 2.
एक अलग लंबाई की केंद्रीय रेखा लें और उस पर तरंग खींचने का प्रयास करें।
हल:
मान लीजिए AB केंद्रीय रेखा है, जिसकी लंबाई 12 सेमी है। यानी, AB = 12 सेमी।
अब, पहली तरंग को अर्धवृत्त के रूप में खींचा जाता है, जिसके लिए केंद्रीय रेखा AB के व्यास का आधा, यानी AX की त्रिज्या का आधा लिया जाता है।62सेमी = 3 सेमी 2

अब, दूसरी लहर को XB के आधे त्रिज्या वाले अर्धवृत्त के रूप में खींचा जाता है = 6 सेमी, यानी, पहली लहर की विपरीत दिशा में 3 सेमी।

प्रश्न 3.
उस आकृति को पुनः बनाने का प्रयास करें जिसमें तरंगें अर्धवृत्त से छोटी हों (जैसा कि आकृति 'एक व्यक्ति' की गर्दन में दिखाई देता है)। चुनौती यह है कि दोनों तरंगें एक समान हों।
हल:
स्वयं करके देखें।

8.2 वर्ग और आयत: इसे समझें (पृष्ठ 194)

प्रश्न 1.
एक बिंदु-आधारित कागज़ पर आयत और चार वर्गों की आकृति (चित्र 8.3 में दर्शाई गई) बनाएँ।
आपने इस आकृति को इस प्रकार पुनः बनाने के लिए क्या किया कि चारों वर्ग आयत के चारों ओर सममित रूप से रखे गए हों? अपने सहपाठियों के साथ चर्चा करें।
हल:
चार बिंदुओं का उपयोग करके एक आयत बनाएँ और चार वर्ग बनाएँ ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि सभी वर्ग आकार में बराबर हों और आयत के चारों ओर सममित रूप से रखे गए हों।

प्रश्न 2.

इस समूह में कोई वर्ग आकृति है या नहीं, यह पहचानें। आवश्यकता पड़ने पर माप का उपयोग करें।

सोचें: क्या ऊपर दी गई आकृति में किसी भी माप उपकरण का उपयोग किए बिना यह पता लगाना संभव है कि भुजाएँ बराबर हैं या नहीं, और कोण समकोण हैं या नहीं? क्या हम केवल बिंदुओं की ग्रिड में कोनों की स्थिति देखकर ऐसा कर सकते हैं?
हल:
केवल A एक वर्ग है।

• सभी भुजाएँ बराबर हैं, और
• सभी कोण 90° के हैं।

प्रश्न 3

डॉट ग्रिड पर कम से कम 3 घुमाए हुए वर्ग और आयत बनाएँ। इन्हें इस प्रकार बनाएँ कि इनके कोने डॉट्स पर हों। जाँच करें कि क्या आपके द्वारा बनाए गए वर्ग और आयत अपने-अपने गुणों को संतुष्ट करते हैं।
हल:

हम डॉट ग्रिड पर वर्ग और आयत के गुणों की जाँच कर सकते हैं।
कोनों के बीच डॉट्स की संख्या गिनकर या रूलर से मापकर ग्रिड लाइनों के साथ संरेखित भुजाओं की लंबाई की जाँच करें। इसके बाद, प्रोटेक्टर का उपयोग करके प्रत्येक कोण का माप ज्ञात करें और जाँचें कि क्या यह 90° है, यानी समकोण है या नहीं।

8.3 वर्ग और आयतों का निर्माण (पागो 197)

प्रश्न 1.
4 सेमी और 6 सेमी भुजाओं वाला एक आयत बनाइए। रेखाचित्र बनाने के बाद जाँच कीजिए कि क्या यह आयत के दोनों गुणों को संतुष्ट करता है।
हल:
4 सेमी और 6 सेमी भुजाओं वाला आयत।
चरण
(i) रूलर का उपयोग करके एक सीधी रेखा AB = 6 सेमी खींचिए।

(ii) बिंदु A पर प्रोटेक्टर रखिए और AB से 90° का कोण बनाइए।
(iii) A से इस कोण के अनुदिश एक रेखा खींचिए और AD की लंबाई 4 सेमी मापिए।

(iv) बिंदु B पर भी यही प्रक्रिया दोहराइए और AB पर लंबवत और 4 सेमी लंबी रेखा BC खींचिए।

(v) बिंदुओं D और C को मिलाकर आयत ABCD को पूरा कीजिए।

(vi) सत्यापित कीजिए कि AB और CD बराबर हैं, साथ ही AD और BC भी बराबर हैं और सभी कोण 90° हैं।

प्रश्न 2.

2 सेमी और 10 सेमी भुजाओं वाला एक आयत बनाइए। बनाने के बाद, जाँचिए कि क्या यह आयत के दोनों गुणों को संतुष्ट करता है।
हल:
प्रश्न 1 का हल समान है, केवल लंबाई को 2 सेमी और 10 सेमी में बदला गया है।

प्रश्न 3.
क्या ऐसी चार भुजाओं वाली आकृति बनाना संभव है जिसमें—

• सभी कोण 90° के बराबर हैं लेकिन
• विपरीत भुजाएँ बराबर नहीं हैं?

उत्तर:
नहीं, यह संभव नहीं है। जब हम कोई ऐसी आकृति बनाते हैं जिसके सभी कोण 90° के हों, तो वह हमेशा एक आयत ही बनती है।

8.4 आयतों की संरचना का अन्वेषण (पृष्ठ 199)

प्रश्न 1.
आयतों का विभाजन:
एक ऐसा आयत बनाइए जिसे 3 समान वर्गों में विभाजित किया जा सके।

हल:
हम चित्र 1 में दर्शाए गए आकार का एक आयत बनाएंगे।

चरण 1. आयत की ऊर्ध्वाधर भुजा को 3 सेमी मान लें। चूंकि आयत को तीन समान वर्गों में विभाजित करना है, इसलिए आयत की लंबाई 3 सेमी + 3 सेमी + 3 सेमी = 9 सेमी होगी।

चरण 2. रूलर का उपयोग करके 9 सेमी के बराबर एक रेखा AB खींचिए (चित्र 2)।

चरण 3. रूलर का उपयोग करके AB पर बिंदु P और Q इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि AP = 3 सेमी और PQ = 3 सेमी हो। यहाँ, QB भी 3 सेमी है (चित्र 3)।

चरण 4. प्रोटेक्टर का उपयोग करके A, P, Q और B पर लंब रेखाएँ खींचिए (चित्र 4)।

चरण 5. रूलर का उपयोग करके A, P, Q और B पर खींचे गए लंबों पर क्रमशः बिंदु A', P', Q' और B' अंकित कीजिए, इस प्रकार कि AA' = PP' = QQ' और BR' = 3 सेमी हो (चित्र 5)।

चरण 6. रूलर का उपयोग करके A' और P', P' और Q' तथा Q' और B' को मिलाइए। A', P', Q' और B' के ऊपर खींची गई रेखाओं को मिटा दीजिए (चित्र 6)।

चरण 7. ABB'A' अपेक्षित आयत है जिसे 3 समान वर्गों APP'A', PQQ'P' और QBB'Q' में विभाजित किया गया है।

प्रश्न 2.
एक आयत की भुजाओं की लंबाई बताइए जिसे विभाजित नहीं किया जा सकता है: (पृष्ठ 201)
(i) दो समान वर्ग
(ii) तीन समान वर्ग।
हल:
(i) मान लीजिए एक आयत की छोटी भुजा x सेमी है। यदि आयत की बड़ी भुजा 2x सेमी (x सेमी + x सेमी) है, तो इस आयत को x सेमी भुजा वाले दो समान वर्गों में विभाजित किया जा सकता है। (चित्र 1)

आइए 4 सेमी और 6 सेमी भुजाओं वाले एक आयत पर विचार करें। यहाँ, 6, 8 (4 + 4) के बराबर नहीं है, इसलिए इसे दो समान वर्गों में विभाजित नहीं किया जा सकता है जैसा कि चित्र 2 में दिखाया गया है।

(ii) मान लीजिए एक आयत की छोटी भुजा x सेमी है। यदि आयत की बड़ी भुजा 3x सेमी (x सेमी + x सेमी + x सेमी) है, तो इस आयत को x सेमी भुजा वाले तीन समान वर्गों में विभाजित किया जा सकता है। (चित्र 3)

आइए 3 सेमी और 8 सेमी भुजाओं वाले एक आयत पर विचार करें। यहां, 8, 9 (3 + 3 + 3) के बराबर नहीं है, इसलिए इसे चित्र 4 में दिखाए अनुसार तीन समान वर्गों में विभाजित नहीं किया जा सकता है।

8.4 आयतों की संरचना का अन्वेषण (पृष्ठ संख्या 201 – 203)

प्रश्न 1.
आयत के भीतर वर्ग:
8 सेमी और 4 सेमी भुजाओं वाला एक आयत बनाइए। चित्र में दिखाए अनुसार, आयत के भीतर एक वर्ग कैसे बनाएँगे, जिससे वर्ग का केंद्र आयत के केंद्र के समान हो?

संकेत:
एक मोटा-मोटा चित्र बनाइए। वर्ग की भुजा की लंबाई क्या होगी? वर्ग और बाहरी आयत के कोनों के बीच की दूरी क्या होगी?
हल:
8 सेमी और 4 सेमी भुजाओं वाला एक आयत PQRS बनाइए।

फिर, विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं से रेखाएँ LN और MO इस प्रकार खींचिए कि वे भुजा PQ को L पर, QR को M पर, RS को N पर और PS को O पर प्रतिच्छेदित करें।

चूँकि वर्ग और आयत का केंद्र समान है और आयत की चौड़ाई 4 सेमी है, इसलिए हम आयत के केंद्र से 4 सेमी भुजा वाला एक वर्ग बनाते हैं और उसे ABCD नाम देते हैं।

अतः वर्ग की भुजा की लंबाई 4 सेमी है और वर्ग और बाहरी आयत के कोनों के बीच की दूरी = PL – AL = 4 सेमी – 2 सेमी = 2 सेमी।

प्रश्न 2.
गिरते हुए वर्ग
नीचे दिखाए गए 'गिरते हुए वर्ग' आकृति का निर्माण कीजिए:

सुनिश्चित करें कि वर्ग उसी तरह संरेखित हों जैसे दिखाए गए हैं। अब, इसे हल करने का प्रयास करें।

हल:
दी गई आकृति में, तीन गिरते हुए वर्ग हैं और प्रत्येक वर्ग की भुजा 4 सेमी है।
चरण 1. रूलर का उपयोग करके, 4 सेमी के बराबर एक रेखा AB खींचिए। प्रोटेक्टर का उपयोग करके, A और B पर लंबवत रेखाएँ खींचिए।
रूलर का उपयोग करके, A पर लंबवत रेखा पर बिंदु C को इस प्रकार अंकित कीजिए कि AC = 4 सेमी हो।
रूलर का उपयोग करके, B पर लंबवत रेखा पर बिंदु D और E को इस प्रकार अंकित कीजिए कि BD = 4 सेमी और DE = 4 सेमी हो। (चित्र 1)।

चरण 2. C और D को मिलाइए। CD को F तक इस प्रकार बढ़ाइए कि DF = 4 सेमी हो। प्रोटेक्टर का उपयोग करके, F पर लंबवत रेखा खींचिए। रूलर का उपयोग करके, F पर लंबवत रेखा पर बिंदु G और H को इस प्रकार अंकित कीजिए कि FG = 4 सेमी और GH = 4 सेमी हो। (चित्र 2)।

चरण 3. E और G को मिलाइए। EG को I तक इस प्रकार बढ़ाइए कि GE = 4 सेमी. एक प्रोटेक्टर का उपयोग करके, बिंदु I पर एक लंब रेखा खींचिए। एक रूलर का उपयोग करके, बिंदु J को I पर लंब रेखा पर इस प्रकार अंकित कीजिए कि IJ = 4 सेमी हो। H और J को मिलाइए। आकृति में अतिरिक्त रेखाओं को मिटा दीजिए। (चित्र 3)।

चरण 4. चित्र 3 में तीन "गिरते हुए वर्ग" दर्शाए गए हैं, जिनमें से प्रत्येक की भुजा 4 सेमी है।

प्रश्न 3.
छायांकन:
नीचे दी गई आकृति की रचना कीजिए। अपनी पसंद का माप चुनिए। ध्यान दें कि बड़ी चार भुजाओं वाली आकृति वर्गाकार है, और छोटी आकृतियाँ भी वर्गाकार हैं।

हल:
चरण 1. रूलर का उपयोग करके 8 सेमी के बराबर एक रेखा AB खींचिए। क्योंकि 8 ÷ 4 = 2, हम 2 सेमी भुजा वाले छोटे वर्ग बनाएंगे। प्रोटेक्टर का उपयोग करके A और B पर लंबवत रेखाएँ खींचिए। रूलर का उपयोग करके A पर खींची गई लंबवत रेखा पर बिंदु P अंकित कीजिए, जिससे AP = 8 सेमी हो। रूलर का उपयोग करके B पर खींची गई लंबवत रेखा पर बिंदु Q अंकित कीजिए, जिससे BQ = 8 सेमी हो। रूलर का उपयोग करके P और Q को मिलाइए। P और Q के ऊपर खींची गई रेखाओं को मिटा दीजिए (चित्र 1)।

चरण 2. रूलर का उपयोग करके AB, BQ, QP और PA रेखाओं पर 2 सेमी की दूरी पर बिंदु अंकित कीजिए। क्षैतिज रेखाएँ और ऊर्ध्वाधर रेखाएँ खींचकर 16 वर्ग प्राप्त कीजिए। (चित्र 2)

चरण 3. कोने A से, चार वर्गों की भीतरी भुजाओं को मिटाकर 4 सेमी भुजा वाला एक वर्ग बनाएं जिसका एक कोना A पर हो। शेष 12 छोटे वर्गों के समानांतर विकर्ण खींचें, जिनमें से प्रत्येक की भुजा 2 सेमी हो। (चित्र 3)

चरण 4. इन 12 छोटे वर्गों में, विकर्णों के ऊपर वाले भाग में क्षैतिज रेखाएँ खींचें। (चित्र 4)

चरण 5. चित्र 4 वह आकृति है जिसमें एक वर्ग के भीतर 12 छोटे वर्ग हैं।

प्रश्न 4.
छेद वाला वर्ग:

ध्यान दें कि वृत्ताकार छेद वर्ग के केंद्र के समान है।
दिए गए चित्र के अनुसार एक छेद वाला वर्ग बनाएँ। छेद का केंद्र वर्ग के केंद्र के समान है।
संकेत: सोचें कि वृत्त का केंद्र कहाँ होना चाहिए।
हल:
वर्ग का केंद्र उसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है। यही केंद्र चित्र में छेद का केंद्र भी है।

चरण 1. एक रूलर का उपयोग करके, 5 सेमी के बराबर एक रेखा AB खींचें। एक प्रोटेक्टर का उपयोग करके, A और B पर लंबवत रेखाएँ खींचें। एक रूलर का उपयोग करके, A पर लंबवत रेखा पर बिंदु P इस प्रकार अंकित करें कि AP = 5 सेमी हो। एक रूलर का उपयोग करके, B पर लंबवत रेखा पर बिंदु Q इस प्रकार अंकित करें कि BQ = 5 सेमी हो। रूलर का उपयोग करके P और Q को मिलाएँ। P और Q के ऊपर खींची गई रेखाओं को मिटा दें (चित्र 1)।

चरण 2. एक रूलर का उपयोग करके विकर्ण AQ और BP खींचें। मान लीजिए कि विकर्ण C पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु वर्ग ABQP का केंद्र है। विकर्ण AQ और BP को मिटा दें (चित्र 2)।

चरण 3. C को केंद्र मानकर और 1.5 सेमी की त्रिज्या लेकर, एक कंपास का उपयोग करके एक वृत्त खींचें (चित्र 3)।

चरण 4. चित्र 3 आवश्यक "छेद वाला वर्ग" है।

प्रश्न 5.
अधिक छिद्रों वाला वर्ग
: दी गई आकृति के अनुसार चार छिद्रों वाला वर्ग बनाइए।

हल:
आकृति में, वृत्त का केंद्र संगत वर्ग के केंद्र के समान है।
चरण 1. एक रूलर का उपयोग करके, 8 सेमी के बराबर एक रेखा AB खींचिए। एक प्रोटेक्टर का उपयोग करके, A और B पर लंबवत रेखाएँ खींचिए। एक रूलर का उपयोग करके, A पर लंबवत रेखा पर बिंदु P इस प्रकार अंकित कीजिए कि AP = 8 सेमी हो। एक रूलर का उपयोग करके, B पर लंबवत रेखा पर बिंदु Q इस प्रकार अंकित कीजिए कि BQ = 8 सेमी हो। एक रूलर का उपयोग करके P और Q को मिलाइए। P और Q के ऊपर खींची गई रेखाओं को मिटा दीजिए। (आकृति 1)

चरण 2. एक रूलर का उपयोग करके, बिंदु C, D, E और F ज्ञात कीजिए, इस प्रकार कि AC = 4 सेमी, BD = 4 सेमी, QE = 4 सेमी और PF = 4 सेमी हो। C और E तथा F और D को मिलाइए। (आकृति 2)

चरण 3. मान लीजिए G, रेखाओं FD और CE का प्रतिच्छेदन बिंदु है। वर्ग ACGF, CBDG, DQEG और GEPF के विकर्णों को जोड़कर उनके केंद्र ज्ञात कीजिए। (चित्र 3)

चरण 4. छोटे वृत्तों के केंद्र ज्ञात करने के लिए खींची गई अतिरिक्त रेखाओं को मिटा दें। छोटे वर्गों के केंद्रों को केंद्र मानकर, 1.3 सेमी त्रिज्या के चार वृत्त खींचिए। (चित्र 4)

चरण 5. चित्र 4 आवश्यक “चार छिद्रों वाला वर्ग” है।

प्रश्न 6.
वक्रों वाला वर्ग:
यह 8 सेमी भुजाओं वाला एक वर्ग है।

चित्र में दिखाए अनुसार 8 सेमी भुजा वाले वर्ग का उपयोग करके एक वक्रों वाला वर्ग बनाइए।
संकेत: सोचिए कि कम्पास की नोक कहाँ रखी जाए जिससे चारों चाप प्रत्येक भुजा से समान रूप से बाहर की ओर निकलें। इसे करके देखिए!
हल:
दिए गए चित्र में, चारों चापों के केंद्र वर्ग के बाहर हैं।
चरण 1. रूलर का उपयोग करके, 8 सेमी के बराबर एक रेखा AB खींचिए। प्रोटेक्टर का उपयोग करके, A और B पर लंबवत रेखाएँ खींचिए। रूलर का उपयोग करके, A पर खींची गई लंबवत रेखा पर बिंदु P अंकित कीजिए, इस प्रकार कि AP = 8 सेमी हो। रूलर का उपयोग करके, B पर खींची गई लंबवत रेखा पर बिंदु Q अंकित कीजिए, इस प्रकार कि BQ = 8 सेमी हो। रूलर का उपयोग करके P और Q को मिलाइए। P और Q के ऊपर खींची गई रेखाओं को मिटा दें। (चित्र 1)

चरण 2. रूलर का उपयोग करके, बिंदु C, D, E और F इस प्रकार अंकित करें कि AC = 4 cm, BD = 4 cm, QE = 4 cm और PF = 4 cm हो। C और E तथा D और F को मिलाएँ। इन रेखाओं को वर्ग के बाहर तक बढ़ाएँ। (चित्र 2)

चरण 3. DF को बढ़ाएँ और उस पर बिंदु G और H इस प्रकार अंकित करें कि DG और FH 4 cm के बराबर हों। CE को बढ़ाएँ और उस पर बिंदु I और J इस प्रकार अंकित करें कि Cl और EJ 4 cm के बराबर हों। 4 cm की दूरी 4 cm से थोड़ी कम या थोड़ी अधिक हो सकती है। B और G को मिलाएँ। (चित्र 3)

चरण 4. G, H, I और J को केंद्र मानकर और BG के बराबर त्रिज्या लेकर, दिए गए चित्र में दिखाए अनुसार वर्ग के अंदर चार चाप खींचें। अतिरिक्त रेखाओं को मिटा दें। (चित्र 4)

चरण 5. चित्र 4 8 cm भुजा वाला आवश्यक "वक्रों वाला वर्ग" है।

8.5 आयतों और वर्गों के विकर्णों का अन्वेषण करना (पृष्ठ संख्या 211)

प्रश्न 1.
एक आयत बनाइए जिसमें एक विकर्ण विपरीत कोणों को 50° और 40° में विभाजित करता हो।
हल:
हम चित्र 1 में दर्शाए गए आकार का एक आयत बनाएंगे।

चरण 1. एक रूलर का उपयोग करके, 4 सेमी के बराबर एक रेखा AB खींचिए। (चित्र 2)

चरण 2. एक प्रोटेक्टर का उपयोग करके, प्रोटेक्टर के केंद्र बिंदु को A पर रखते हुए, 50° और 90° (50° + 40°) के कोणों पर बिंदु C और D अंकित कीजिए। (चित्र 3)

चरण 3. एक प्रोटेक्टर का उपयोग करके, AB पर B पर एक लंब खींचिए और इसे विस्तारित रेखा AC को E पर प्रतिच्छेद करने दीजिए। (चित्र 3)

चरण 4. एक प्रोटेक्टर का उपयोग करके, E पर BE पर एक लंब रेखा खींचें और इसे विस्तारित रेखा AD को F पर प्रतिच्छेदित करने दें। (चित्र 4)

चरण 5. चित्र 4 में अतिरिक्त रेखाओं को मिटा दें। (चित्र 5)

चरण 6. चित्र 5 वह आयत है जिसमें एक विकर्ण विपरीत कोणों को 50° और 40° में विभाजित करता है।

प्रश्न 2.
एक आयत बनाइए जिसमें एक विकर्ण विपरीत कोणों को 45° और 45° में विभाजित करता है। भुजाओं के बारे में आप क्या देखते हैं?
हल:
एक क्षैतिज रेखाखंड AB खींचिए। यह आयत की एक भुजा होगी।

(i) बिंदु A पर, एक प्रोटेक्टर का उपयोग करके 45° का कोण AX मापें और खींचिए।

(ii) बिंदु B पर, 90° का कोण मापें और खींचिए। इस कोण पर B से विस्तारित एक रेखाखंड BC खींचिए जो C पर AX को मिलता है।

(iii) बिंदु A और C पर, एक 90° का कोण खींचिए जो बिंदु D पर मिलता है।

ABCD अपेक्षित आयत है। यहाँ, विकर्ण AC विपरीत कोणों A और C को 45° और 45° में विभाजित करता है।
अवलोकन: आप देखेंगे कि जब विकर्ण विपरीत कोणों को 45° और 45° में विभाजित करते हैं, तो आयत की भुजाएँ बराबर होंगी, जिससे एक वर्ग बनेगा।

प्रश्न 3.
एक आयत बनाइए जिसकी एक भुजा 4 सेमी और विकर्ण 8 सेमी लंबा हो।
हल:
सबसे पहले, एक मोटा-मोटा चित्र बनाइए।

चरण 1: 4 सेमी लंबाई का आधार CD आसानी से बनाया जा सकता है।

चरण 2: बिंदु C पर रेखा DC पर एक लंब खींचिए। मान लीजिए यह रेखा l है।

चरण 3: बिंदु D को केंद्र मानकर 8 सेमी त्रिज्या का एक चाप खींचिए।

बिंदु B ज्ञात करने के लिए,
चरण 4: DC और BC पर क्रमशः D और B से होकर जाने वाले लंब खींचिए। वह बिंदु जहाँ ये रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, चौथा बिंदु A है।

यह आयत की सभी शर्तों को पूरा करता है।

प्रश्न 4.
एक आयत बनाइए जिसकी एक भुजा 3 सेमी और विकर्ण की लंबाई 7 सेमी हो।
हल:
स्वयं करें।

8.6 दिए गए दो बिंदुओं से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का निर्माण करें (पृष्ठ संख्या 215)

प्रश्न 1.
एक बड़ा घर बनाइए जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई 7 सेमी हो।
हल:
सबसे पहले 7 सेमी भुजा वाला एक वर्ग बनाइए, जिसका नाम ABCD है।

अब, कंपास का उपयोग करके, भुजा AB के ऊपर 7 सेमी त्रिज्या के चाप बिंदु A और B से खींचिए। मान लीजिए कि चाप बिंदु E पर प्रतिच्छेद करते हैं।

A को E से और B को E से सीधी रेखाओं द्वारा मिलाइए।

अब, कंपास में 7 सेमी त्रिज्या लीजिए और E से, A और B को स्पर्श करते हुए चाप खींचिए जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

प्रश्न 2.
'घर' के निर्माण में प्रयुक्त विचारों का उपयोग करते हुए, 'कलाकृति' अनुभाग से 'एक व्यक्ति', 'लहरदार लहर' और 'आँखें' को पुनः बनाने का प्रयास करें।
हल:
स्वयं करें।

प्रश्न 3.
क्या कोई ऐसी चार भुजाओं वाली आकृति है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर लंबाई की हों लेकिन वह वर्ग न हो? यदि ऐसी कोई आकृति मौजूद है, तो क्या आप उसे बना सकते हैं?
हल:
हाँ, एक ऐसी चार भुजाओं वाली आकृति है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर लंबाई की हैं लेकिन वह वर्ग नहीं है। इस आकृति को समचतुर्भुज कहते हैं।
चरण
(i) किसी भी लंबाई का एक रेखाखंड AB खींचिए।
मान लीजिए यह 5 सेमी है।

(ii) बिंदु A पर 90° से कम कोई कोण खींचिए। मान लीजिए यह 70° है।

(iii) 5 सेमी लंबाई के रूलर और किरण AX का उपयोग करके बिंदु D अंकित कीजिए।

(iv) अब, बिंदु D और B पर 5 सेमी त्रिज्या के दो वृत्त खींचिए जो बिंदु C पर प्रतिच्छेद करेंगे।

(v) BC और DC को मिलाइए।

ABCD वांछित चार भुजाओं वाली आकृति है।