शून्य के दूसरी ओर

NCERT Solutions Class 6 Maths Chapter 10 शून्य के दूसरी ओर

10.1 इसका पता लगाएँ:

1) आप दूसरी मंजिल से शुरू करते हैं और लिफ्ट में -3 ​​बटन दबाते हैं। आप कहाँ पहुँचेंगे? इस गति के लिए एक व्यंजक लिखिए।

उत्तर:

प्रारंभिक तल +2 (कला केंद्र) है और बटन दबाने की संख्या -3 है। अतः, आप लक्ष्य तल तक पहुँच जाते हैं।

= प्रारंभिक तल + गति

= (+2) + (-3)

= -1 (खिलौने)

2) इन अभिव्यक्तियों का मूल्यांकन करें (आप इन्हें बिल्डिंग ऑफ फन के संदर्भ में स्टार्टिंग फ्लोर + मूवमेंट के रूप में सोच सकते हैं)।

 3) अलग-अलग मंजिलों से शुरू करते हुए, -5वीं मंजिल तक पहुँचने के लिए आवश्यक चालें ज्ञात कीजिए। उदाहरण के लिए, यदि मैं +2वीं मंजिल से शुरू करता हूँ, तो मुझे -5वीं मंजिल तक पहुँचने के लिए -7 दबाना होगा। इसका सूत्र है (+2) + (–7) = –5।

इस प्रकार की और भी प्रारंभिक स्थितियाँ और –5वीं मंजिल तक पहुँचने के लिए आवश्यक गतिविधियाँ ढूँढ़ें और उनके लिए अभिव्यक्तियाँ लिखें।

उत्तर:

i) प्रारंभिक स्थिति = तल +1

व्यंजक = (+1) + (–6) = –5.

ii) प्रारंभिक स्थिति = तल +3

व्यंजक = (+3) + (–8) = –5.

iii) प्रारंभिक स्थिति = तल +4

व्यंजक = (+4) + (–9) = –5.

समझ से बाहर:

इन अभिव्यक्तियों का मूल्यांकन बटन दबाने के संयोजन से उत्पन्न होने वाली परिणामी गति के रूप में सोचकर करें:

 समझ से बाहर:

1) बिल्डिंग ऑफ फन का उपयोग करके निम्नलिखित संख्याओं की तुलना करें और बॉक्स में < या > भरें।

 (ध्यान दें कि सभी ऋणात्मक संख्या तल, तल 0 से नीचे हैं। अतः, सभी ऋणात्मक संख्याएँ 0 से कम हैं। सभी धनात्मक संख्या तल, तल 0 से ऊपर हैं। अतः, सभी धनात्मक संख्याएँ 0 से अधिक हैं।)

2) अधिक मंजिलों वाली बिल्डिंग ऑफ फन की कल्पना कीजिए। संख्याओं की तुलना करें और बॉक्स में < या > भरें:

3) यदि दाईं ओर रेखा के रूप में दर्शाई गई इमारत में मंजिल A = –12, मंजिल D = –1 और मंजिल E = +1 है, तो मंजिल B, C, F, G और H की संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

एक पंक्ति को एक मंजिल माना जाता है।

'0' तल के ऊपर के तलों को धनात्मक संख्याओं से और '0' तल के नीचे के तलों को ऋणात्मक संख्याओं से क्रमांकित किया जाता है।

तो, हम प्रत्येक मंजिल को गिनते हुए, मंजिलों की संख्या गिनते हैं,

अतः, मंजिलों की संख्या

B = -11, C = -10, F = +2, G = +6, H = +11

4) दाईं ओर दिखाए गए भवन की निम्नलिखित मंजिलों को चिह्नित करें।

(a) –7, (b) –4, (c) +3, (d) –10

उत्तर:

समझ से बाहर:

इन अभिव्यक्तियों को पूरा करें। आप इन्हें आरंभिक तल से लक्ष्य तल तक पहुँचने के लिए आवश्यक गति ज्ञात करने के रूप में समझ सकते हैं।

 समझ से बाहर:

इन अभिव्यक्तियों को पूरा करें।

खदान में होने वाली हलचल के बारे में सोचकर अपने उत्तरों की जाँच करें।

 समझ से बाहर:

1) ऊपर दी गई संख्या रेखा पर 3 धनात्मक संख्याएँ और 3 ऋणात्मक संख्याएँ अंकित करें।

उत्तर:

2) ऊपर चिह्नित 3 ऋणात्मक संख्याओं को निम्नलिखित बॉक्स में लिखें:

उत्तर:

 3) क्या 2 > – 3 है? क्यों? क्या –2 < 3 है? क्यों?

उत्तर:

2 > – 3

स्पष्टीकरण: '2' एक धनात्मक संख्या है और '-3' एक ऋणात्मक संख्या है। हम जानते हैं कि धनात्मक संख्याएँ हमेशा ऋणात्मक संख्याओं से बड़ी होती हैं।

अतः, 2, -3 से बड़ा है।

–2 < 3

स्पष्टीकरण: ' 3' एक धनात्मक संख्या है और '-2' एक ऋणात्मक संख्या है। हम जानते हैं कि धनात्मक संख्याएँ हमेशा ऋणात्मक संख्याओं से बड़ी होती हैं।

अतः, 3, -2 से बड़ा है।

4) निम्नलिखित क्या हैं: (i) –5+0 (ii)7+(–7) (iii) –10+20 (iv) 10 –20 (v)7–(–7)

(vi)–8–(–10)?

10.2 इसका पता लगाएँ:

1) टोकन का उपयोग करके जोड़ को पूरा करें।

ए.) (+6)+(+4)

उत्तर:

आइए 6 सकारात्मक और 4 सकारात्मक जोड़ें

टोकन जोड़कर,

हमें प्राप्त होता है, (+6)+(+4) = +10

ख.) (–3) + (–2)

उत्तर:

आइए (-3) ऋणात्मक और (-2) ऋणात्मक जोड़ें

टोकन जोड़कर,

हमें प्राप्त होता है, (–3) + (–2) = -5

ग.) (+5)+(–7)

उत्तर:

आइए (+5) सकारात्मक और (-7) नकारात्मक जोड़ें

हम देखते हैं कि हम पाँच शून्य युग्मों को हटा सकते हैं, और फिर हमारे पास -2 बचता है।

तो हमें मिलता है, (+5)+(–7) = -2

घ.) (–2) + (+6)

उत्तर:

आइए (-2) ऋणात्मक और (+6) धनात्मक जोड़ें

हम देखते हैं कि हम दो शून्य युग्मों को हटा सकते हैं, और फिर हमारे पास +4 बचता है।

तो हमें मिलता है, (-2) + (+6) = +4

2) निम्नलिखित दो टोकन सेटों में शून्य युग्मों को रद्द करें। प्रत्येक स्थिति में लिफ्ट अटेंडेंट किस मंजिल पर है? प्रत्येक स्थिति में संबंधित जोड़ कथन क्या है?

ए)

उत्तर:

चित्र से हम देख सकते हैं कि हम तीन शून्य जोड़े हटा सकते हैं, और फिर हमारे पास -2 बचता है।

बी)

उत्तर:

चित्र से हम देख सकते हैं कि हम तीन शून्य जोड़े हटा सकते हैं, और फिर हमारे पास +3 बचता है।

समझ से बाहर:

1.) टोकन का उपयोग करके निम्नलिखित अंतरों का मूल्यांकन करें। जांचें कि आपको वही परिणाम प्राप्त होता है जो आपको अब तक ज्ञात अन्य विधियों से प्राप्त होता है:

ए.) (+10) –(+7)

उत्तर:

आइए घटाते हैं:

(+10) –(+7) = +3

10 सकारात्मक परिणामों में से 7 सकारात्मक परिणाम घटा दें।

ख.) (–8)– (–4)

उत्तर:

आइए घटाते हैं:

(-8) – (-4) = -4

-8 नकारात्मक अंकों में से -4 नकारात्मक अंक घटाएं।

ग.) (–9) –(–4)

उत्तर:

आइए घटाते हैं:

(-9) – (-4) = -5

-9 नकारात्मक अंकों में से -4 नकारात्मक अंक घटाएं।

घ.) (+9)–(+12)

उत्तर:

आइए घटाते हैं:

(+9) – (+12) = -3

9 पॉजिटिव में से 12 पॉजिटिव को हटाने के लिए पर्याप्त टोकन नहीं हैं।

इसलिए, हमने अतिरिक्त 3 शून्य जोड़े रखे (1 जोड़ा = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक)।

अब हम 12 पॉजिटिव मामलों को हटा सकते हैं।

इसलिए, (+9) – (+12) = -3

ई.) (–5) –(–7)

उत्तर:

आइए घटाते हैं:

(-5) – (-7) = +2

-5 नकारात्मक संख्याओं में से -7 नकारात्मक संख्याओं को घटाने के लिए पर्याप्त टोकन नहीं हैं।

इसलिए, हम दो अतिरिक्त शून्य जोड़े रखते हैं (1 जोड़ा = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक)।

अब हम -7 ऋणात्मक संख्याओं को हटा सकते हैं।

इसलिए, (-5) – (-7) = +2

च.) (–2) –(–6)

उत्तर:

आइए घटाते हैं:

(-2) – (-6) = +4

-2 नकारात्मक संख्याओं में से -6 नकारात्मक संख्याओं को घटाने के लिए पर्याप्त टोकन नहीं हैं।

इसलिए, हमने अतिरिक्त चार शून्य जोड़े रखे (1 जोड़ा = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक)।

अब हम -6 ऋणात्मक संख्याओं को हटा सकते हैं।

इसलिए, (-2) – (-6) = +4

2) घटाव पूरा करें:

ए.) (–5)– (–7)

उत्तर:

आइए घटाते हैं:

(-5) – (-7) = +2

-5 नकारात्मक संख्याओं में से -7 नकारात्मक संख्याओं को घटाने के लिए पर्याप्त टोकन नहीं हैं।

इसलिए, हम दो अतिरिक्त शून्य जोड़े रखते हैं (1 जोड़ा = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक)।

अब हम -7 ऋणात्मक संख्याओं को हटा सकते हैं।

इसलिए, (-5) – (-7) = +2

ख.) (+10) –(+13)

उत्तर:

आइए घटाते हैं:

(+10) – (+13) = -3

10 पॉजिटिव में से 13 पॉजिटिव को हटाने के लिए पर्याप्त टोकन नहीं हैं।

इसलिए, हमने अतिरिक्त 3 शून्य जोड़े रखे (1 जोड़ा = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक)।

अब हम 13 पॉजिटिव मामलों को हटा सकते हैं।

इसलिए, (+10) – (+13) = -3

ग.) (–7) –(–9)

उत्तर:

आइए घटाते हैं:

(-7) – (-9) = +2

-7 नकारात्मक संख्याओं में से -9 नकारात्मक संख्याओं को घटाने के लिए पर्याप्त टोकन नहीं हैं।

इसलिए, हम दो अतिरिक्त शून्य जोड़े रखते हैं (1 जोड़ा = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक)।

अब हम -9 ऋणात्मक संख्याओं को हटा सकते हैं।

इसलिए, (-7) – (-9) = +2

घ.) (+3)– (+8)

उत्तर:

आइए घटाते हैं:

(+3) – (+8) = -5

3 पॉजिटिव में से 8 पॉजिटिव निकालने के लिए पर्याप्त टोकन नहीं हैं।

इसलिए, हमने अतिरिक्त 5 शून्य जोड़े रखे (1 जोड़ा = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक)।

अब हम 8 पॉजिटिव मामलों को हटा सकते हैं।

इसलिए, (+3) – (+8) = -5

ई.) (–2) –(–7)

उत्तर:

आइए घटाते हैं:

(-2) – (-7) = +5

-2 नकारात्मक संख्याओं में से -7 नकारात्मक संख्याओं को घटाने के लिए पर्याप्त टोकन नहीं हैं।

इसलिए, हम दो अतिरिक्त शून्य जोड़े रखते हैं (1 जोड़ा = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक)।

अब हम -7 ऋणात्मक संख्याओं को हटा सकते हैं।

इसलिए, (-2) – (-7) = +5

च.) (+3) – (+15)

उत्तर:

आइए घटाते हैं:

(+3) – (+15) = -12

3 पॉजिटिव में से 15 पॉजिटिव को हटाने के लिए पर्याप्त टोकन नहीं हैं।

इसलिए, हमने अतिरिक्त 12 शून्य जोड़े (1 जोड़ा = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक) रखे।

अब हम 15 पॉजिटिव मामलों को हटा सकते हैं।

इसलिए, (+3) – (+15) = -12

समझ से बाहर:

1) घटाने का प्रयास करें: –3– (+5).

आपको कितने शून्य युग्म डालने होंगे? परिणाम क्या होगा?

उत्तर:

हमें -3 ​​नकारात्मक में से 5 सकारात्मक निकालने हैं। लेकिन पर्याप्त सकारात्मक नहीं हैं।

इसलिए, हमने अतिरिक्त 5 शून्य जोड़े रखे (1 जोड़ा = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक)।

अब हम 5 पॉजिटिव केस निकाल सकते हैं।

इसलिए, –3– (+5) = -8

2) टोकन का उपयोग करके निम्नलिखित का मूल्यांकन करें।

ए.) (–3)–(+10)

उत्तर:

हमें -3 ​​नेगेटिव में से 10 पॉजिटिव निकालने हैं। लेकिन पॉजिटिव की संख्या पर्याप्त नहीं है।

इसलिए, हमने अतिरिक्त 10 शून्य जोड़े रखे (1 जोड़ा = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक)।

अब हम 10 पॉजिटिव मामलों को हटा सकते हैं।

ख.) (+8) – (–7)

उत्तर:

हमें 8 सकारात्मक मामलों में से -7 नकारात्मक मामले निकालने हैं। लेकिन उतने नकारात्मक मामले नहीं हैं।

इसलिए, हमने अतिरिक्त 7 शून्य जोड़े रखे (1 जोड़ा = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक)।

अब हम -7 नकारात्मक मानों को हटा सकते हैं।

ग.) (–5) –(+9)

उत्तर:

हमें -5 नेगेटिव में से 9 पॉजिटिव निकालने हैं। लेकिन पॉजिटिव की संख्या पर्याप्त नहीं है।

इसलिए, हमने अतिरिक्त 9 शून्य जोड़े रखे (1 जोड़ा = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक)।

अब हम 9 पॉजिटिव मामलों को हटा सकते हैं।

इसलिए, –5 – (+9) = -14

घ.) (–9) – (+10)

उत्तर:

हमें -9 नेगेटिव में से 10 पॉजिटिव निकालने हैं। लेकिन पॉजिटिव मामलों की संख्या पर्याप्त नहीं है।

इसलिए, हमने अतिरिक्त 10 शून्य जोड़े रखे (1 जोड़ा = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक)।

अब हम 10 पॉजिटिव मामलों को हटा सकते हैं।

इसलिए, –9 – (+10) = -19

ई.) (+6) –(–4)

उत्तर:

हमें 6 सकारात्मक में से -4 नकारात्मक निकालने हैं। लेकिन उतने नकारात्मक नहीं हैं।

इसलिए, हमने अतिरिक्त 4 शून्य जोड़े रखे (1 जोड़ा = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक)।

अब हम -4 ऋणात्मक संख्याओं को हटा सकते हैं।

च.) (–2)–(+7)

उत्तर:

हमें -2 नेगेटिव में से 7 पॉजिटिव निकालने हैं। लेकिन पॉजिटिव की संख्या पर्याप्त नहीं है।

इसलिए, हमने अतिरिक्त 7 शून्य जोड़े रखे (1 जोड़ा = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक)।

अब हम 7 पॉजिटिव मामलों को हटा सकते हैं।

इसलिए, (–2)–(+7) = -9

च.) (–2)–(+7)

उत्तर:

हमें -2 नेगेटिव में से 7 पॉजिटिव निकालने हैं। लेकिन पॉजिटिव की संख्या पर्याप्त नहीं है।

इसलिए, हमने अतिरिक्त 7 शून्य जोड़े रखे (1 जोड़ा = एक धनात्मक और एक ऋणात्मक)।

अब हम 7 पॉजिटिव मामलों को हटा सकते हैं।

इसलिए, (–2)–(+7) = -9

10.3 इसका पता लगाएँ:

1) मान लीजिए कि आपके बैंक खाते में शुरुआत में 0 रुपये हैं, और फिर आपके खाते में क्रमशः 30, 40 और 50 रुपये जमा होते हैं, और 40, 50 और 60 रुपये निकाले जाते हैं। अब आपके बैंक खाते में कितनी राशि बची है?

उत्तर:

प्रारंभिक बैंक बैलेंस = 0

रुपये जमा करने के बाद कुल बैंक बैलेंस = ₹ (30 + 40 + 50) = ₹ 120

कुल डेबिट राशि = ₹ (40 + 50 + 60) = ₹ 150

राशि डेबिट होने के बाद बैंक खाते में शेष राशि = ₹ (120 – 150) = ₹ -30

(कुछ बैंक आपके खाते की शेष राशि को अस्थायी रूप से नकारात्मक होने की अनुमति देते हैं! कुछ बैंक आपके खाते की शेष राशि के नकारात्मक होने पर 'ब्याज' या 'शुल्क' के रूप में अतिरिक्त शुल्क लेते हैं।)

2) मान लीजिए कि आपके बैंक खाते में शुरुआत में 0 रुपये हैं, और फिर आपके खाते से क्रमशः 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 और 128 रुपये डेबिट होते हैं, और फिर एक बार 256 रुपये क्रेडिट होते हैं। अब आपके बैंक खाते में कितनी राशि बची है?

उत्तर:

प्रारंभिक बैंक बैलेंस = 0

डेबिट की गई राशियों के बाद कुल बैंक बैलेंस = - ₹ (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128) = – ₹ 255

राशि जमा होने के बाद बैंक खाते में शेष राशि = + ₹ 256 – ₹ 255 = + ₹ 1

तो अब बैंक बैलेंस ₹1 है।

3) आम तौर पर अपने बैंक खाते में सकारात्मक शेष राशि बनाए रखना बेहतर क्यों होता है? वे कौन सी परिस्थितियाँ हैं जिनमें अस्थायी रूप से नकारात्मक शेष राशि रखना फायदेमंद हो सकता है?

उत्तर:

जब आपके खाते में बैलेंस नेगेटिव हो जाता है तो बैंक 'ब्याज' या 'शुल्क' के रूप में अतिरिक्त शुल्क लेते हैं, इसलिए बेहतर यही है कि आप अपने बैंक खाते में पॉजिटिव बैलेंस बनाए रखने की कोशिश करें।

देय खातों पर अधिक भुगतान, डेबिट, क्रेडिट प्रभाव, क्रेडिट कार्ड या ऋण भुगतान आदि होने पर बैंक खाते का शेष नकारात्मक हो सकता है।

समझ से बाहर:

1) भौगोलिक अनुप्रस्थ काट को देखते हुए, संबंधित ऊंचाइयों को भरें:

A = (_), B = (_), C = (_), D = (_)

E = (_), F = (_), G = (_)

उत्तर:

A = 1500 मीटर, B = – 500 मीटर, C = 300 मीटर, D = -1200 मीटर

E = 1200 मीटर, F = -200 मीटर, G = 100 मीटर

2) इस भौगोलिक अनुप्रस्थ काट में सबसे ऊँचा बिंदु कौन सा है? सबसे निचला बिंदु कौन सा है?

उत्तर:

इस भौगोलिक अनुप्रस्थ काट का उच्चतम बिंदु 1500 मीटर है।

इस भौगोलिक अनुप्रस्थ काट का सबसे निचला बिंदु -1500 मीटर है।

3) क्या आप बिंदुओं A, B, …, G को ऊँचाई के घटते क्रम में लिख सकते हैं? क्या आप बिंदुओं को ऊँचाई के बढ़ते क्रम में लिख सकते हैं?

उत्तर:

बिंदु A, B, C, D, E और G की ऊँचाई क्रमशः 1500 मीटर, -500 मीटर, 300 मीटर, -1200 मीटर, 1200 मीटर, -200 मीटर और 100 मीटर है।

A, B, C, D, E और G घटते क्रम में,

= 1500 मीटर > 1200 मीटर > 300 मीटर > 100 मीटर > -200 मीटर > -500 मीटर > -1200 मीटर

= A > E > C > G > F > B > D

= ए, ई, सी, जी, एफ, बी और डी

A, B, C, D, E और G को बढ़ते क्रम में व्यवस्थित करें।

= -1200 मीटर < -500 मीटर < -200 मीटर < 100 मीटर < 300 मीटर < 1200 मीटर < 1500 मीटर

= D < B < F < G < C < E < A

= डी, बी, एफ, जी, सी, ई और ए

4) पृथ्वी पर समुद्र तल से सबसे ऊँचा स्थान कौन सा है? उसकी ऊँचाई कितनी है?

उत्तर:

बिंदु A पृथ्वी पर समुद्र तल से सबसे ऊँचा स्थान है।

बिंदु A की ऊंचाई 1500 मीटर है।

5) समुद्र तल के सापेक्ष भूमि या समुद्र तल पर सबसे निचला बिंदु कौन सा है? उसकी ऊँचाई कितनी है? (यह ऊँचाई ऋणात्मक होनी चाहिए)।

उत्तर:

बिंदु D, समुद्र तल के सापेक्ष भूमि पर या समुद्र के नीचे का सबसे निचला बिंदु है।

बिंदु D की ऊँचाई -1200 मीटर है।

समझ से बाहर:

1) क्या आप जानते हैं कि भारत में कुछ ऐसे स्थान हैं जहाँ तापमान 0°C से नीचे जा सकता है? भारत में उन स्थानों का पता लगाएँ जहाँ तापमान कभी-कभी 0°C से नीचे चला जाता है। इन स्थानों में क्या समानता है? वहाँ ठंड क्यों पड़ती है जबकि अन्य स्थानों पर नहीं?

उत्तर:

जी हां, भारत में कुछ ऐसे स्थान हैं जहां तापमान 0 डिग्री सेल्सियस से नीचे जा सकता है।

इन स्थानों के नाम हैं = लद्दाख, शिमला और पश्चिम सिक्किम आदि।

0°C पानी का हिमांक बिंदु है, इसलिए इस तापमान पर तरल पानी जमना शुरू हो जाएगा, जो इन सभी स्थानों में एक सामान्य तथ्य है।

जैसे-जैसे भूमि की ऊंचाई बढ़ती है, तापमान घटता जाता है और परिणामस्वरूप ठंडक बढ़ती जाती है। ये स्थान उच्च ऊंचाई पर स्थित हैं, इसलिए वहां ठंडक अधिक होती है।

2) लद्दाख के लेह में सर्दियों में बहुत ठंड पड़ती है। नवंबर के एक दिन लेह में दिन/रात के अलग-अलग समय पर लिए गए तापमान की तालिका नीचे दी गई है। तापमान को दिन/रात के उपयुक्त समय से मिलाएँ।

 उत्तर:

14°C – दोपहर 2:00 बजे तक, 8°C – सुबह 11:00 बजे तक, -2°C – रात 11:00 बजे तक, -4°C – सुबह 2:00 बजे तक।

10.4 इसका पता लगाएँ:

1) ऊपर दिए गए दूसरे ग्रिड के लिए गणना करें और सीमा योग ज्ञात करें।

2) आवश्यक सीमा योग बनाने के लिए ग्रिड को पूरा करें:

उत्तर:

 3) ऊपर दिए गए अंतिम ग्रिड के लिए, संख्याओं को भरने के एक से अधिक तरीके खोजें ताकि सीमा योग -4 प्राप्त हो।

उत्तर:

 4) और कौन-कौन सी ग्रिड को एक से अधिक तरीकों से भरा जा सकता है? इसका कारण क्या हो सकता है?

उत्तर:

पहले ग्रिड के लिए इसे कई तरीकों से भरा जा सकता है।

स्पष्टीकरण:

पहली ग्रिड में प्रति पंक्ति केवल एक बॉक्स भरा जाता है। इसलिए, अन्य दो बॉक्सों को अलग-अलग तरीकों से भरा जा सकता है ताकि सीमा का योग +4 हो जाए।

उदाहरण;

(i) -10 + 4 + 10 = 4,

(ii) -10 + 6 + 8 = 4,

(iii) -10 -1 + 15 = 4 इत्यादि।

5) एक बॉर्डर वाला पूर्णांक वर्ग पहेली बनाएं और अपने सहपाठियों को चुनौती दें।

उत्तर:

 समझ से बाहर:

1) Try afresh, choose different numbers this time. What sum did you get? Was it different from the first time? Try a few more times!

Ans:

The circled numbers are 4, -5, 1 and -1. If you add them, you get -1.

No difference from the first time.

2) Play the same game with the grids below. What answer did you get?

Ans:

The circled numbers are 7, 4, -2 and -7.If you add them, you get 2.

The circled numbers are -8, -5, -2 and -1.If you add them, you get -14.

3) What could be so special about these grids? Is the magic in the numbers or the way they are arranged or both? Can you make more such grids?

Ans:

Figure it out:

1) Write all the integers between the given pairs, in increasing order.

(a) 0 and –7

Ans:

All the integers between 0 and –7in increasing order,

-6 <-5 <-4<-3 <-2 <-1

-6,-5,-4, -3, -2 and-1.

(b) –4 and 4

Ans:

All the integers between -4 and 4 in increasing order,

-3< -2< -1<0<1<2 < 3

-3, -2, -1, 0, 1,2 and 3.

(c) –8 and –15

Ans:

All the integers between -8 and -15 in increasing order,

-14< -13< -12<-11<-10<-9

-14, -13, -12, -11, -10 and-9.

(d) –30 and –23

Ans:

All the integers between -30 and -23 in increasing order,

-29< -28< -27<-26<-25<-24

-29, -28, -27, -26, -25 and -24.

2) Give three numbers such that their sum is –8.

Ans:

Example: (4 – 5 – 7) = -8

Three such numbers are 4, -5 and -7 where the sum is -8.

3) There are two dice whose faces have these numbers: –1, 2, –3, 4, –5, 6 The smallest possible sum upon rolling these dice is –10 = (–5) + (–5) and the largest possible sum is 12 = (6)+(6). Some numbers between (–10) and (+12) are not possible to get by adding numbers on these two dice. Find those numbers.

Ans:

The possible adding numbers are,

(-1-1)= -2, (-1+2) = 1, (-1-3) = -4, (-1+4) = +3, (-1-5) = -6, (-1+6) = +5, (2+2) = 4, (2-3) = -1, (2+4) = 6, (2-5) = -3, (2+6) = 8, (-3+4) = +1, (-3-5) = -8, (-3+6) = +3, (4-5) = -1, (4+6) = 10, (-5-5) = -10, (-5+6) = 1

-10,-8,-6,-4,-3,-2,-1, +1,+3, +4,+5, +6, +8, +10

Apart from these numbers the other numbers between (-10) and (+12) are -11, -9, -7, -5, +7, +9, +11

So, it is not possible to get these numbers by adding the numbers on these two dice.

So, it is not possible to get -11, -9, -7, -5, +7, +9 and +11 by adding these two dice.

4) Solve these:

 5) Find the years below.

a) From the present year, which year was it 150 years ago? ________

Ans:

Current year is 2024.

So, 150 years ago the year was = (2024-150) years = 1874years

b) From the present year, which year was it 2200 years ago? _______

Ans:

Current year is 2024.

So, 2200years ago the year was = (2024-2200) years = – 0176years

(Hint: Recall that there was no year 0.)

c) What will be the year 320 years after 680 BCE? ________

Ans:

The BCE year is 680.

After 320 years the BCE year was = (680 + 320) year = 1000 years

6) Complete the following sequences:

(–40), (–34), (–28), (–22), _____, ______, ______

Ans:

(–40), (–34), (–28), (–22), (-16), (-10), (-4)

3, 4, 2, 5, 1, 6, 0, 7, _____, _____, _____

Ans:

3, 4, 2, 5, 1, 6, 0, 7, (-1), (8), (-2)

_____, ______, 12, 6, 1, (–3), (–6), _____, ______, ______

Ans:

(24), (18), 12, 6, 1, (–3), (–6), (-9), (-12), (-15)

7) Here are six integer cards: (+1), (+7), (+18), (–5), (–2), (–9). You can pick any of these and make an expression using addition(s) and subtraction(s). Here is an expression: (+18)+(+1) –(+7) – (–2) which gives a value (+14). Now, pick cards and make an expression such that its value is closer to (– 30).

Ans:

Example:

i) (-5) – (+18)- (+7)+(+1) = -29

ii) (+1) + (-9) – (+18) + (-5) = -31

8) The sum of two positive integers is always positive but a (positive integer) – (positive integer) can be positive or negative. What about

 9) This string has a total of 100 tokens arranged in a particular pattern. What is the value of the string?

Ans:

The value of the string is positive.

10.5) Figure it out:

1) Can you explain each of Brahmagupta’s rules in terms of Bela’s Building of Fun, or in terms of a number line?

2) Give your own examples of each rule.

Ans:

Brahmagupta’s Rules for Addition:

1) The sum of two positives is positive.

For example: (Starting floor +2) +(Movement +3) = +7

2) The sum of two negatives is negative.

For example: (Starting floor -2) +(Movement -1) = -3

3) If one number is positive and the other is negative, subtract the smaller number (without the sign) from the greater number (without the sign), and place the sign of the greater number to obtain the result.

For example: (Starting floor +5) +(Movement -2) = +3

4) The sum of a number and its inverse is zero.

For example: (Starting floor +3) +(Movement -3) = 0

5) The sum of any number and zero is the same number.

For example: (Starting floor +2) +(Movement 0) = +2

Brahmagupta’s Rules for Subtraction:

1) If a smaller positive is subtracted from a larger positive, the result is positive.

For example: (Starting floor +4) – (Movement +1) = +1

2) If a larger positive is subtracted from a smaller positive, the result is negative.

For example: (Starting floor +2) – (Movement +4) = -2.

3) Subtracting a negative number is the same as adding the corresponding positive number.

For example: (Starting floor +3) – (Movement -4) = +7

4) Subtracting a number from itself gives zero.

For example: (Starting floor +3) – (Movement +3) = 0

5) Subtracting zero from a number gives the same number.

For example: (Starting floor -4) – (Movement 0) = -4 and (Starting floor 0) – (Movement 0) = 0.

Subtracting a number from zero gives the number’s inverse (Starting floor 0) – (Movement -1) = +1