अभाज्य समय

NCERT Solutions Class 6 Maths Chapter 5 अभाज्य समय

1) किस संख्या पर 'इडली-वड़ा' दसवीं ^बार कहा जाता है ?

उत्तर: 150वें अंक में 'इडली-वड़ा' शब्द 10 ^{वीं बार बोला गया है।}

2) यदि यह खेल 1 से 90 तक की संख्याओं के लिए खेला जाए, तो पता लगाएँ:

क) बच्चे कितनी बार 'इडली' कहेंगे (इसमें 'इडली-वड़ा' कहने की संख्या भी शामिल है)?

उत्तर: यदि खेल 1 से 90 तक की संख्याओं के लिए खेला जाता है, तो बच्चे 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87 और 90 संख्याओं पर 'इडली' कहेंगे।

कुल 30 बार (इसमें वे बार भी शामिल हैं जब वे 'इडली-वड़ा' कहते हैं)

b) बच्चे कितनी बार 'वड़ा' कहेंगे (इसमें 'इडली-वड़ा' कहने की संख्या भी शामिल है)?

उत्तर: बच्चे 'वड़ा' (जिसमें 'इडली-वड़ा' कहने का समय भी शामिल है) 18 बार कहेंगे (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90)।

ग) बच्चे कितनी बार 'इडली-वड़ा' कहेंगे?

उत्तर:

बच्चे 'इडलीवड़ा' छह बार बोलते थे। (इडलीवड़ा तीन और पांच दोनों के गुणजों के लिए बोला जाता है)

3) यदि खेल 900 तक खेला जाता तो क्या होता? आपके उत्तर कैसे बदलते?

उत्तर:

अगर खेल 900 तक खेला जाता है, तो उत्तर भी बदल जाएंगे। इसलिए, 'इडली', 'वड़ा' और 'इडली-वड़ा' बोलने का समय भी बढ़ जाएगा।

4.) क्या यह आकृति किसी तरह 'इडली-वड़ा' खेल से संबंधित है?

उत्तर: जी हां, यह तस्वीर 'इडली-वड़ा' खेल से संबंधित है।

संकेत: कल्पना कीजिए कि खेल 30 तक खेला जाता है। यदि खेल 60 तक खेला जाता है तो आकृति बनाइए।

उत्तर:

समझ से बाहर:

1) 310 और 410 के बीच स्थित 40 के सभी गुणज ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 310 और 410 के बीच 40 के सभी गुणज हैं,

310 < 320, 360, 400 > 410

(40 × 8 = 320, 40 × 9 = 360, 40 × 10 = 400)

2) मैं कौन हूँ?

a) मैं 40 से कम एक संख्या हूँ। मेरे गुणनखंडों में से एक 7 है। मेरे अंकों का योग 8 है।

उत्तर:

7, 7, 14, 21, 28 और 35 के उभयनिष्ठ गुणनखंड हैं, जो 40 से कम हैं।

और एक ऐसी संख्या है जिसके अंकों का योग 35 है = (3+5) = 8.

तो, मेरी उम्र 35 साल है।

b) मैं 100 से कम एक संख्या हूँ। मेरे दो गुणनखंड 3 और 5 हैं। मेरे अंकों में से एक दूसरे से 1 अधिक है।

उत्तर:

3 और 5, 15, 30, 45, 60, 75 और 90 के उभयनिष्ठ गुणनखंड हैं, जो 100 से कम हैं।

और एक ऐसी संख्या है जिसका एक अंक दूसरे अंक से 1 अधिक है, वह संख्या 45 है।

तो, मेरी उम्र 45 साल है।

3) वह संख्या जिसके सभी गुणनखंडों का योग उस संख्या के दोगुने के बराबर हो, पूर्ण संख्या कहलाती है। 28 एक पूर्ण संख्या है। इसके गुणनखंड 1, 2, 4, 7, 14 और 28 हैं। इनका योग 56 है, जो 28 का दोगुना है। 1 और 10 के बीच एक पूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1 से 10 के बीच की एक पूर्ण संख्या 6 है।

6 के गुणनखंड हैं: 1, 2, 3 और 6।

गुणनखंडों का योग 12 है जो 6 का दोगुना है।

4) निम्नलिखित के उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात कीजिए:

5) ऐसी कोई तीन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो 25 के गुणज हों लेकिन 50 के गुणज न हों।

उत्तर:

कुछ संख्याएँ जो 25 के गुणज हैं, वे हैं 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175 आदि।

कुछ संख्याएँ जो 50 के गुणज हैं, वे हैं 50, 100, 150, 200, 250, 300 आदि।

अतः, वे संख्याएँ जो 25 के गुणज हैं लेकिन 50 के गुणज नहीं हैं, वे हैं 25, 75, 125 और 175 इत्यादि।

6) अंशु और उसके दोस्त दो संख्याओं के साथ 'इडली-वड़ा' का खेल खेलते हैं, जो दोनों 10 से छोटी हैं। पहली बार कोई 'इडली-वड़ा' 50 के बाद कहता है। वे दो संख्याएँ कौन सी हो सकती हैं जिन्हें 'इडली' और 'वड़ा' नाम दिया गया है?

उत्तर:

'इडली' और 'वड़ा' के लिए जो दो संख्याएँ निर्धारित की गई हैं, वे 7 और 8 हैं (दोनों संख्याएँ 10 से छोटी हैं)।

जब संख्या 7 का गुणज हो तो खिलाड़ियों को 'इडली' कहना चाहिए और जब संख्या 8 का गुणज हो तो खिलाड़ियों को 'वड़ा' कहना चाहिए।

(56 वह संख्या है जो 7 और 8 दोनों का गुणज है, जब पहली बार इडली-वड़ा 50 के बाद कहता है)।

7) खजाने की खोज के खेल में, ग्रम्पी ने 28 और 70 पर खजाने रखे हैं। दोनों संख्याओं पर उतरने के लिए जंप का आकार क्या होगा?

उत्तर:

28 के गुणनखंड हैं: 1, 2, 4, 7, 14 और 28। इन सभी संख्याओं को जोड़ने पर 28 प्राप्त होगा।

70 के गुणनखंड हैं: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35 और 70। इन सभी संख्याओं को जोड़ने पर 70 प्राप्त होगा।

28 और 70 के उभयनिष्ठ गुणनखंड 1, 2, 7 और 14 हैं।

इसलिए, 1, 2, 7 या 14 के जंप साइज 28 और 70 दोनों पर लैंड करेंगे।

8) नीचे दिए गए चित्र में, गुना ने उभयनिष्ठ गुणजों को छोड़कर सभी संख्याओं को मिटा दिया है। पता लगाएँ कि वे संख्याएँ क्या हो सकती हैं और रिक्त स्थानों में लुप्त संख्याओं को भरें।

उत्तर:

24 के गुणनखंड हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 और 24

48 के गुणनखंड हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 और 48

72 के गुणनखंड हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 और 72

24, 48 और 72 के उभयनिष्ठ गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 और 24 हैं।

अतः, 6 और 8 के गुणज 24, 48 और 72 के उभयनिष्ठ गुणज हैं।

9) वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का गुणज हो, सिवाय 7 के।

उत्तर:

सबसे पहले, हम 7 को छोड़कर 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करते हैं।

हमारे पास है,

1 = 1, 2 = 1 × 2, 3 = 1 × 3, 4 = 2 × 2, 5 = 1 × 5, 6 = 2 × 3, 8 = 2 × 2 × 2, 9 = 3 × 3, 10 = 2 × 5

अतः, इन संख्याओं का एलसीएम = 1 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 360

(इन संख्याओं के सबसे बड़े गुणनखंडों का गुणनफल चुनें)

7 को छोड़कर 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का गुणज बनने वाली सबसे छोटी संख्या 360 है।

10) वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का गुणज हो।

उत्तर:

सबसे पहले, हम 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करते हैं।

1 = 1, 2 = 1 × 2, 3 = 1 × 3, 4 = 2 × 2, 5 = 1 × 5, 6 = 2 × 3, 7 = 1 × 7, 8 = 2 × 2 × 2, 9 = 3 × 3, 10 = 2 × 5

अतः, इन संख्याओं का एलसीएम = 1 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7 = 2520

सबसे छोटी संख्या जो 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का गुणज है, वह 2520 है।

5.2 इसका पता लगाएँ:

1) हम देखते हैं कि 2 एक अभाज्य संख्या है और साथ ही एक सम संख्या भी है। क्या कोई अन्य सम अभाज्य संख्या भी है?

उत्तर:

नहीं, 2 एकमात्र अभाज्य और सम संख्या है।

2) 100 तक की अभाज्य संख्याओं की सूची देखें। दो लगातार अभाज्य संख्याओं के बीच सबसे छोटा अंतर क्या है? सबसे बड़ा अंतर क्या है?

उत्तर:

दो लगातार अभाज्य संख्याओं के बीच का सबसे छोटा अंतर 1 है।

(यही 2 और 3 के बीच का अंतर है)।

दो लगातार अभाज्य संख्याओं के बीच का सबसे बड़ा अंतर 8 है।

(यह 89 और 97 के बीच का अंतर है)।

3) क्या पिछले पृष्ठ पर दी गई तालिका की प्रत्येक पंक्ति में अभाज्य संख्याओं की संख्या बराबर है? किस दशक में सबसे कम अभाज्य संख्याएँ हैं? किस दशक में सबसे अधिक अभाज्य संख्याएँ हैं?

उत्तर:

नहीं, तालिका की प्रत्येक पंक्ति में अभाज्य संख्याओं की संख्या बराबर नहीं होती है।

अंतिम पंक्ति में अभाज्य संख्याओं की संख्या सबसे कम है।

पहली और दूसरी ^{पंक्ति में} सबसे अधिक अभाज्य संख्याएँ हैं।

4) निम्नलिखित में से कौन-कौन सी संख्याएँ अभाज्य हैं? 23, 51, 37, 26

उत्तर:

अभाज्य संख्याएँ 23 और 37 हैं।

5) 20 से कम तीन अभाज्य संख्याओं के जोड़े लिखिए जिनका योग 5 का गुणज हो।

उत्तर:

अभाज्य संख्याओं के जोड़े (2, 3), (3, 7) और (2, 13) हैं।

(अभाज्य संख्याओं के वे जोड़े जो 20 से कम हैं और जिनका योग 5 का गुणज है)।

6) संख्याएँ 13 और 31 अभाज्य संख्याएँ हैं। इन दोनों संख्याओं के अंक 1 और 3 समान हैं। 100 तक अभाज्य संख्याओं के ऐसे युग्म ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

अभाज्य संख्याओं के ऐसे जोड़े (17 और 71), (37 और 73), और (79 और 97) हैं।

7) 1 और 100 के बीच सात लगातार भाज्य संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1 से 100 के बीच की सात लगातार भाज्य संख्याएँ (90, 91, 92, 93, 94, 95 और 96) हैं।

8) जुड़वां अभाज्य संख्याएँ वे दो अभाज्य संख्याएँ होती हैं जिनका अंतर 2 होता है। उदाहरण के लिए, 3 और 5 जुड़वां अभाज्य संख्याएँ हैं। इसी प्रकार 17 और 19 भी जुड़वां अभाज्य संख्याएँ हैं। 1 और 100 के बीच अन्य जुड़वां अभाज्य संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

अतः, 1 और 100 के बीच अन्य जुड़वां अभाज्य संख्याएँ (5, 7), (11, 13), (41, 43) और (71, 73) हैं।

9) प्रत्येक कथन सत्य है या असत्य, इसकी पहचान कीजिए। व्याख्या कीजिए।

a) ऐसी कोई अभाज्य संख्या नहीं है जिसका इकाई अंक 4 हो।

उत्तर:

जी हां, ऐसी कोई अभाज्य संख्या नहीं है जिसका इकाई अंक 4 हो।

उदाहरण- 134, 564, 374, 974 आदि।

क्योंकि इकाई अंक वाली संख्या 4, 1, 2 और 4 से विभाज्य है।

b) अभाज्य संख्याओं का गुणनफल भी अभाज्य हो सकता है।

उत्तर:

अभाज्य संख्याओं का गुणनफल अभाज्य नहीं हो सकता क्योंकि अभाज्य संख्याओं का गुणनफल स्वयं उन संख्याओं से भी विभाजित हो जाता है।

उदाहरण-

7 एक अभाज्य संख्या है और अभाज्य संख्याओं का गुणनफल 7 × 7 = 49 होता है।

और 49 को स्वयं 7 से विभाजित किया जा सकता है।

ग) अभाज्य संख्याओं के कोई गुणनखंड नहीं होते हैं।

उत्तर:

अभाज्य संख्याओं के ठीक 2 गुणनखंड होते हैं, जिनमें से एक 1 होता है और दूसरा स्वयं वह संख्या होती है।

d) सभी सम संख्याएँ भाज्य संख्याएँ होती हैं।

उत्तर:

नहीं, सभी सम संख्याएँ भाज्य संख्याएँ नहीं होती हैं।

उदाहरण – 2 एक सम संख्या है जिसके 2 गुणनखंड हैं और यह एक अभाज्य संख्या भी है।

2 को छोड़कर, सभी सम संख्याएँ भाज्य संख्याएँ हैं।

e) 2 एक अभाज्य संख्या है और अगली संख्या 3 भी अभाज्य है। प्रत्येक अन्य अभाज्य संख्या के लिए, अगली संख्या भाज्य होती है।

उत्तर:

हाँ, यह एकमात्र अपवाद है, क्योंकि प्रत्येक अन्य अभाज्य संख्या के लिए, अगली संख्या भाज्य होती है।

10) निम्नलिखित में से कौन सी संख्या ठीक तीन अलग-अलग अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है: 45, 60, 91, 105, 330?

उत्तर:

इन संख्याओं का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए।

45 = 3 × 3 × 5

60 = 2 × 2 × 3 × 5

91 = 7 × 13

105 = 3 × 5 × 7

330 = 2 × 3 × 5 × 11

यह संख्या 105 है, जो तीन अलग-अलग अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है।

11) 2, 4 और 5 में से प्रत्येक का एक बार उपयोग करके आप कितनी तीन अंकों की अभाज्य संख्याएँ बना सकते हैं?

उत्तर:

जब पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं होती है, तो 2, 4 और 5 मिलकर एक अभाज्य संख्या नहीं बना सकते।

क्योंकि,

जब इसका इकाई अंक 2 या 4 होता है तो यह 2 से विभाजित हो जाता है, और जब इकाई अंक 5 होता है तो यह 5 से विभाजित हो जाता है, इसलिए 2, 4 और 5 मिलकर कोई अभाज्य संख्या नहीं बना सकते।

12) ध्यान दें कि 3 एक अभाज्य संख्या है, और 2 × 3 + 1 = 7 भी एक अभाज्य संख्या है। क्या ऐसी कोई अन्य अभाज्य संख्याएँ हैं जिनके दोगुने में 1 जोड़ने पर एक और अभाज्य संख्या प्राप्त होती है? ऐसे कम से कम पाँच उदाहरण ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

हां, ऐसे अन्य अभाज्य संख्याएं भी हैं जिनका दोगुना करने और उसमें 1 जोड़ने पर एक और अभाज्य संख्या प्राप्त होती है।

उदाहरण-

i) 2 × 5 + 1 = 11 एक अभाज्य संख्या है।

ii) 2 × 11 + 1 = 23 एक अभाज्य संख्या है।

iii) 2 × 23 + 47 = 47 एक अभाज्य संख्या है।

iv) 2 × 29 + 1 = 59 एक अभाज्य संख्या है।

v) 2 × 41 + 1 = 83 एक अभाज्य संख्या है।

vi) 2 × 53 + 1 = 107 एक अभाज्य संख्या है।

vii) 2 × 89 + 1 = 179 एक अभाज्य संख्या है।

5.4 इसका पता लगाएँ:

1) निम्नलिखित संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात कीजिए: 64, 104, 105, 243, 320, 141, 1728, 729, 1024, 1331, 1000।

उत्तर:

निम्नलिखित संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड इस प्रकार हैं;

64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

104 = 2 × 2 × 2 × 13

105 = 3 × 5 × 7

243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3

320 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5

141 = 3 × 47

1728 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3

1024 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

1331 = 11 × 11 × 11

1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5

2) एक संख्या के अभाज्य गुणनखंड में एक 2, दो 3 और एक 11 है। वह संख्या क्या है?

उत्तर:

किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंड में एक 2, दो 3 और एक 11 होता है।

अतः, संख्या है = 2 × 3 × 3 × 11 = 198

3) तीन अभाज्य संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जो सभी 30 से कम हों, और जिनका गुणनफल 1955 हो।

उत्तर:

1955 का अभाज्य गुणनखंडन = 5 × 17 × 19

अतः, तीन अभाज्य संख्याएँ 5, 17 और 19 हैं, जो सभी 30 से कम हैं।

4) इन संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन बिना गुणा किए ज्ञात कीजिए।

ए) 56 × 25

उत्तर:

56 × 25

= 2 × 2 × 2 × 7 × 5 × 5

= 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7

b) 108 × 75

उत्तर:

108 × 75

= 2 × 2 × 3 × 3 × 3

ग) 1000 × 81

उत्तर:

1000 × 81

= 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 × 3 × 3 × 3 × 3

= 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5

5) वह सबसे छोटी संख्या कौन सी है जिसका अभाज्य गुणनखंडन निम्न प्रकार से किया गया हो:

a) तीन अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ?

उत्तर:

तीन सबसे छोटी भिन्न अभाज्य संख्याएँ 2, 3 और 5 हैं।

इन संख्याओं का गुणनफल = 2 × 3 × 5 = 30

तीन सबसे छोटी भिन्न अभाज्य संख्याओं का गुणनफल हमेशा वह सबसे छोटी संख्या होती है जिसके अभाज्य गुणनखंड में तीन भिन्न अभाज्य संख्याएँ होती हैं।

तो, संख्या 30 है।

b) चार अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ?

उत्तर:

चार सबसे छोटी भिन्न अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5 और 7 हैं।

इन संख्याओं का गुणनफल = 2 × 3 × 5 × 7 = 210

चार सबसे छोटी भिन्न अभाज्य संख्याओं का गुणनफल हमेशा वह सबसे छोटी संख्या होती है जिसके अभाज्य गुणनखंड में चार भिन्न अभाज्य संख्याएँ होती हैं।

तो, संख्या 210 है।

 समझ से बाहर:

1) क्या संख्याओं के निम्नलिखित जोड़े सह-अभाज्य हैं? पहले अनुमान लगाइए और फिर अपने उत्तर को सत्यापित करने के लिए अभाज्य गुणनखंड विधि का प्रयोग कीजिए।

ए) 30 और 45

उत्तर:

दोनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड इस प्रकार हैं-

30 = 2 × 3 × 5

45 = 3 × 3 × 5

अब हम देखते हैं कि 3 और 5, 30 और 45 दोनों के अभाज्य गुणनखंड हैं।

इसलिए, 30 और 45 सह-अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं।

ख) 57 और 85

उत्तर:

दोनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड इस प्रकार हैं-

57 = 3 × 19

85 = 5 × 17

अब हम देखते हैं कि कोई भी ऐसी उभयनिष्ठ अभाज्य संख्या नहीं है जो 57 और 85 दोनों को विभाजित करती हो।

इसलिए, 57 और 85 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं।

ग) 121 और 1331

उत्तर:

दोनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड इस प्रकार हैं-

121 = 11 × 11

1331 = 11 × 11 × 11

अब हम देखते हैं कि 11, 121 और 1331 दोनों का एक अभाज्य गुणनखंड है।

इसलिए, 121 और 1331 सह-अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं।

घ) 343 और 216

उत्तर:

दोनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड इस प्रकार हैं-

343 = 7 × 7 × 7

216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

अब हम देखते हैं कि कोई भी ऐसी उभयनिष्ठ अभाज्य संख्या नहीं है जो 343 और 216 दोनों को विभाजित करती हो।

इसलिए, 343 और 216 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं।

2) क्या पहली संख्या दूसरी संख्या से विभाज्य है? अभाज्य गुणनखंड विधि का प्रयोग कीजिए।

ए) 225 और 27

उत्तर:

दोनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड-

225 = 3 × 3 × 5 × 5

27 = 3 × 3 × 3

अतः, 5, 225 का एक अभाज्य गुणनखंड है, लेकिन 27 का अभाज्य गुणनखंड नहीं है।

इसलिए, 225, 27 से विभाज्य नहीं है।

ख) 96 और 24

उत्तर:

दोनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड-

96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3

24 = 2 × 2 × 2 × 3

चूंकि हम किसी भी क्रम में गुणा कर सकते हैं, अब यह स्पष्ट है कि,

96 = 2 × 2 × 2 × 3 × 2 × 2 = 24 × 8

इसलिए, 96, 24 से विभाज्य है।

ग) 343 और 17

उत्तर:

दोनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड-

343 = 7 × 7 × 7

17 = 1 × 17

अतः, 7, 343 का एक अभाज्य गुणनखंड है, लेकिन 17 का अभाज्य गुणनखंड नहीं है।

इसलिए, 343, 17 से विभाज्य नहीं है।

घ) 999 और 99

उत्तर:

दोनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड-

999 = 3 × 3 × 3 × 37

99 = 3 × 3 × 11

अतः, 11, 99 का एक अभाज्य गुणनखंड है, लेकिन 999 का अभाज्य गुणनखंड नहीं है।

इसलिए, 999, 99 से विभाज्य नहीं है।

3) पहली संख्या का अभाज्य गुणनखंड 2 × 3 × 7 है और दूसरी संख्या का अभाज्य गुणनखंड 3 × 7 × 11 है। क्या वे सह-अभाज्य हैं? क्या उनमें से एक दूसरी को विभाजित करती है?

उत्तर:

पहली संख्या का अभाज्य गुणनखंडन = 2 × 3 × 7

दूसरी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन = 3 × 7 × 11

अब हम देखते हैं कि 3 और 7 पहली और दूसरी दोनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड हैं।

इसलिए, पहली और दूसरी संख्या सह-अभाज्य नहीं हैं।

अतः, 2 पहली संख्या का अभाज्य गुणनखंड है, लेकिन दूसरी संख्या का अभाज्य गुणनखंड नहीं है।

इसलिए, उनमें से एक संख्या दूसरी संख्या को विभाजित नहीं करती है।

4) गुना कहते हैं, “कोई भी दो अभाज्य संख्याएँ सह-अभाज्य होती हैं”। क्या वे सही हैं?

उत्तर:

हां, गुना इस बारे में सही कह रहा है।

क्योंकि, किन्हीं भी दो अभाज्य संख्याओं में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होते हैं।

इसलिए, वे सह-अभाज्य हैं।

5.5 इसका पता लगाएँ:

1) 2024 एक लीप वर्ष है (क्योंकि फरवरी में 29 दिन होते हैं)। लीप वर्ष उन वर्षों में होते हैं जो 4 के गुणज होते हैं, उन वर्षों को छोड़कर जो 100 से पूर्णतः विभाज्य होते हैं लेकिन 400 से नहीं।

क) आपके जन्म वर्ष से लेकर अब तक, कौन-कौन से वर्ष लीप वर्ष रहे हैं?

उत्तर:

यदि आपका जन्म 2004 में हुआ था, तो लीप वर्ष 2004, 2008, 2012, 2016, 2020 और 2024 होंगे।

जन्म से लेकर अब तक के लीप वर्षों की पहचान करने के लिए, हमें यह जांचने की आवश्यकता है कि कौन से वर्ष 4 से विभाज्य हैं, उन वर्षों को छोड़कर जो 100 से पूरी तरह से विभाज्य हैं लेकिन 400 से नहीं।

b) वर्ष 2024 से 2099 तक कितने लीप वर्ष हैं?

उत्तर:

2024 से 2099 तक के लीप वर्ष इस प्रकार हैं:

2024, 2028, 2032, 2036, 2040, 2044, 2048, 2052, 2056, 2060, 2064, 2068, 2072, 2076, 2080, 2084, 2088, 2092 और 2096।

इसलिए, 2024 और 2099 के बीच 19 लीप वर्ष हैं।

2) सबसे बड़ी और सबसे छोटी 4 अंकों की संख्या ज्ञात कीजिए जो 4 से विभाज्य हों और साथ ही पैलिंड्रोम भी हों।

उत्तर:

किसी संख्या को आगे और पीछे से पढ़ने पर भी वह संख्या वही रहती है, जिसे पैलिंड्रोम कहते हैं।

4 से विभाज्य सबसे बड़ी 4 अंकों की पैलिंड्रोम संख्या;

सबसे पहले हम सबसे बड़ी पैलिंड्रोम संख्या 9999 से शुरू करते हैं और फिर नीचे जाकर यह जांचते हैं कि कौन सी संख्या 4 से विभाज्य है।

अतः, 4 से विभाज्य सबसे बड़ा 4 अंकों का पैलिंड्रोम 8888 है।

सबसे छोटी 4 अंकों की पैलिंड्रोम संख्या जो 4 से विभाज्य हो;

सबसे पहले हम सबसे छोटी पैलिंड्रोम संख्या 1001 से शुरू करते हैं और फिर ऊपर की ओर बढ़ते हुए यह जांचते हैं कि कौन सी संख्या 4 से विभाज्य है।

अतः, 4 से विभाज्य सबसे छोटा 4 अंकों का पैलिंड्रोम 2332 है।

3) पता लगाएँ कि प्रत्येक कथन हमेशा सत्य है, कभी-कभी सत्य है या कभी सत्य नहीं है। आप अपने तर्क के समर्थन में उदाहरण दे सकते हैं।

a) दो सम संख्याओं का योग 4 का गुणज होता है।

उत्तर:

यह कथन कभी-कभी सत्य होता है।

उदाहरण-

जब यह सच हो,

10 + 14 = 24, 4 का गुणज है।

जब यह गलत हो,

10 + 12 = 22, 4 का गुणज नहीं है।

b) दो विषम संख्याओं का योग 4 का गुणज होता है।

उत्तर:

यह कथन कभी-कभी सत्य होता है।

उदाहरण-

जब यह सच हो,

7 + 9 = 16, 4 का गुणज है।

जब यह गलत हो,

7 + 11 = 18, 4 का गुणज नहीं है।

4) निम्नलिखित में से प्रत्येक संख्या को i) 10, ii) 5, iii) 2 से भाग देने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात कीजिए।

78, 99, 173, 572, 980, 1111, 2345

उत्तर:

78: (i) 78/10; शेष = 8, (ii) 78/5; शेष = 3, (iii) 78/2; शेष = 0

99: (i) 9, (ii) 4, (iii) 1

173: (i) 3, (ii) 3, (iii) 1

572: (i) 2, (ii) 2, (iii) 0

980: (i) 0, (ii) 0, (iii) 0

1111: (i) 1, (ii) 1, (iii) 1

2345: (i) 5, (ii) 0, (iii) 1

5) शिक्षक ने पूछा कि क्या 14560, 2, 4, 5, 8 और 10 सभी संख्याओं से विभाज्य है। गुना ने केवल दो संख्याओं से 14560 की विभाज्यता की जाँच की और फिर कहा कि यह उन सभी संख्याओं से विभाज्य है। वे दो संख्याएँ क्या हो सकती हैं?

उत्तर:

जब कोई संख्या 8 से विभाज्य होती है, तो वह 2 और 4 से भी विभाज्य होती है क्योंकि 8, 2 और 4 दोनों का गुणज है।

और जब कोई संख्या 10 से विभाज्य होती है, तो वह 5 से भी विभाज्य होती है क्योंकि 10, 5 का गुणज है।

तो, वे दो संख्याएँ 8 और 10 हो सकती हैं। इन संख्याओं की जाँच करना 14560 की अन्य सभी संख्याओं की जाँच करने के लिए पर्याप्त है।

6) निम्नलिखित में से कौन सी संख्याएँ 2, 4, 5, 8 और 10 सभी से विभाज्य हैं: 572, 2352, 5600, 6000, 77622160?

उत्तर:

जब कोई संख्या 8 और 10 दोनों से विभाज्य होती है, तो वह सभी संख्याओं से भी विभाज्य होती है।

किसी संख्या के 8 से विभाज्य होने का निर्धारण करते समय केवल अंतिम तीन अंक ही मायने रखते हैं और जो संख्याएँ 10 से विभाज्य होती हैं वे वे होती हैं जिनके अंत में '0' होता है।

अतः, वे संख्याएँ जो 2, 4, 5, 8 और 10 से विभाज्य होने की सभी शर्तों को पूरा करती हैं, वे हैं 5600, 6000 और 77622160।

7) ऐसी दो संख्याएँ लिखिए जिनका गुणनफल 10000 हो। दोनों संख्याओं के इकाई अंक में शून्य नहीं होना चाहिए।

उत्तर:

10000 का अभाज्य गुणनखंडन = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 × 5

तो, वे दो संख्याएँ 16 और 625 हैं जिनका गुणनफल 10000 है।

(दोनों संख्याओं में इकाई अंक शून्य नहीं है)।