संख्याओं का खेल

NCERT Solutions Class 6 Maths Chapter 3 संख्या खेल

1) नीचे दी गई तालिका में सुपरसेल को रंग दें या चिह्नित करें।

उत्तर:

2) नीचे दी गई तालिका को केवल 4-अंकीय संख्याओं से भरें, इस प्रकार कि सुपरसेल बिल्कुल रंगीन सेल हों।

उत्तर:

3) नीचे दी गई तालिका को इस प्रकार भरें कि हमें यथासंभव अधिक से अधिक सुपरसेल प्राप्त हों। 100 और 1000 के बीच की संख्याओं का प्रयोग करें, पुनरावृत्ति न करें।

उत्तर:

4) ऊपर दी गई तालिका में 9 संख्याओं में से कितने सुपरसेल हैं? __________

उत्तर:

ऊपर दी गई तालिका में 5 सुपरसेल हैं।

5) अलग-अलग संख्या में कोशिकाओं के लिए संभव सुपरसेल्स की संख्या ज्ञात कीजिए। क्या आपको कोई पैटर्न नज़र आता है? अधिकतम सुपरसेल्स प्राप्त करने के लिए दी गई तालिका को भरने की विधि क्या है? अपनी रणनीति का पता लगाएँ और साझा करें।

उत्तर:                                                 

सुपरसेलों की संख्या संख्या प्रारूप पर निर्भर करती है।

हम तालिका के पहले बॉक्स को भरना शुरू करते हैं और अधिकतम संख्या में सुपरसेल प्राप्त करने के लिए प्रत्येक बॉक्स को भरते रहते हैं।

जी हां, अधिकतम सुपरसेल प्राप्त करने का एक तरीका है। तरीका यह है कि पहले एक सुपरसेल भरें, फिर एक रिक्त स्थान भरने के बाद दूसरा भरें। (पहले वाले से शुरू ^करें )

6) क्या आप सुपरसेल तालिका को बिना किसी दोहराई गई संख्या के इस प्रकार भर सकते हैं कि उसमें कोई सुपरसेल न हो? क्यों या क्यों नहीं?

उत्तर:

नहीं, हम सुपरसेल संख्याओं के बिना सुपरसेल तालिका नहीं भर सकते क्योंकि कम से कम एक संख्या हमेशा अपने आसन्न सेल से बड़ी होगी जब तक कि पुनरावृत्ति की अनुमति न हो।

उदाहरण:

स्पष्टीकरण: यदि अंतिम संख्या 21 से अधिक है तो वह एक सुपरसेल है और यदि 21 से कम है तो 21 स्वयं एक सुपरसेल संख्या है।

7) क्या किसी सारणी में सबसे बड़ी संख्या वाला सेल हमेशा सुपरसेल होगा? क्या किसी सारणी में सबसे छोटी संख्या वाला सेल सुपरसेल हो सकता है? क्यों या क्यों नहीं?

उत्तर:

हां, तालिका में सबसे अधिक संख्या वाला सेल हमेशा सुपरसेल होता है क्योंकि यह अपने बगल वाले सेल से बड़ा होता है।

लेकिन सबसे छोटी संख्या वाली कोशिका सुपरसेल नहीं हो सकती क्योंकि यह अपनी बगल वाली कोशिका से छोटी होती है।

8) एक तालिका भरें जिसमें दूसरी सबसे बड़ी संख्या वाला सेल सुपरसेल न हो।

उत्तर:

उदाहरण:

इस तालिका में दूसरी सबसे बड़ी संख्या 696 है, लेकिन यह स्पष्ट रूप से सुपरसेल संख्या नहीं है।

9) एक ऐसी तालिका भरें जिसमें दूसरी सबसे बड़ी संख्या वाला सेल सुपरसेल न हो, लेकिन दूसरी सबसे छोटी संख्या वाला सेल सुपरसेल हो। क्या यह संभव है?

उत्तर:

जी हां संभव है।

उदाहरण:

इस तालिका में दूसरी सबसे बड़ी संख्या 696 है, लेकिन यह सुपरसेल संख्या नहीं है। वहीं दूसरी ओर, दूसरी सबसे छोटी संख्या 245 है और यह सुपरसेल संख्या है।

3.3 संख्या रेखा पर संख्याओं के पैटर्न

समझ से बाहर:

नीचे दी गई संख्या रेखाओं पर अंकित संख्याओं को पहचानें और शेष स्थानों को चिह्नित करें।

ऊपर दी गई प्रत्येक अनुक्रम में सबसे छोटी संख्या के चारों ओर एक वृत्त और सबसे बड़ी संख्या के चारों ओर एक बॉक्स बनाएं।

उत्तर:

3.4 अंकों के साथ खेलना

समझ से बाहर:

1) अंकों का योग 14

a) ऐसी अन्य संख्याएँ लिखिए जिनके अंकों का योग 14 हो।

उत्तर:

अन्य संख्याएँ (जिनके अंकों का योग 14 होता है)

347 = 3+4+7 = 14

77 = 7+7 = 14

95 = 9+5 = 14

581 = 5+8+1 = 14

266 = 2+6+6 = 14, इत्यादि।

b) वह सबसे छोटी संख्या कौन सी है जिसके अंकों का योग 14 है?

उत्तर:

छोटी संख्या कम से कम दो अंकों की संख्या होती है जिनके अंकों का योग 14 होता है।

संख्या का पहला अंक '5' होना चाहिए क्योंकि यदि संख्या का पहला अंक '5' से कम है तो शर्त को पूरा करने के लिए यह स्वतः ही तीन अंकों की संख्या में परिवर्तित हो जाता है।

अतः, संख्या 59 है। (5+9 = 14)

c) पाँच अंकों की सबसे बड़ी संख्या कौन सी है जिसके अंकों का योग 14 है?

उत्तर:

सबसे बड़ी 5 अंकों की संख्या (जिसके अंकों का योग 14 हो) '9' से शुरू होती है और शेष संख्या को (14-9) = 5 के रूप में लिखा जा सकता है, फिर आप तीन '0' डाल सकते हैं।

तो, यह संख्या 95000 है।

d) आप 14 के योग वाले अंकों से कितनी बड़ी संख्या बना सकते हैं? क्या आप इससे भी बड़ी संख्या बना सकते हैं?

उत्तर:

आप जो सबसे बड़ी संख्या बना सकते हैं वह है = 95000000000000…0, आप और भी '0' जोड़ सकते हैं क्योंकि इससे संख्या के अंकों के योग में कोई बदलाव नहीं होता है (जिनके अंकों का योग 14 होता है)।

2) 40 से 70 तक की सभी संख्याओं के अंकों का योग ज्ञात कीजिए। अपने अवलोकन कक्षा के साथ साझा कीजिए।

उत्तर:

40 के अंकों का योग 4+0 = 4

41 के अंकों का योग 4+1 = 5 है।

.

.

.

69 के अंकों का योग = 6+9 = 15

70 के अंकों का योग = 7+0 = 7

अवलोकन:

40 से 70 तक की सभी संख्याओं के अंकों का योग 4 से 15 तक की संख्याओं में मौजूद है।

3) लगातार अंकों वाली तीन अंकों की संख्याओं (उदाहरण के लिए, 345) के अंकों का योग ज्ञात कीजिए। क्या आपको कोई पैटर्न दिखाई देता है? क्या यह पैटर्न जारी रहेगा?

उत्तर:

अतः, इन संख्याओं के अंकों का योग

123 = (1+2+3) = 6

234 = (2+3+4) = 9

345 = (3+4+5) = 12

456 = (4+5+6) = 15

678 = (6+7+8) = 18

789 = (7+8+9) = 24

हाँ, यह एक पैटर्न है और यह पैटर्न उन सभी संख्याओं में जारी रहेगा जिनकी संख्या लगातार है।

3.7 घड़ी और कैलेंडर संख्याएँ

समझ से बाहर:

1.) प्रतिभा अंक '4', '7', '3' और '2' का उपयोग करके उनसे सबसे छोटी और सबसे बड़ी चार अंकों की संख्याएँ बनाती है: 2347 और 7432। इन दोनों संख्याओं का अंतर 7432 – 2347 = 5085 है। इन दोनों संख्याओं का योग 9779 है। निम्नलिखित चार अंकों की संख्या चुनें:

(क) 5085 से बड़ी और सबसे छोटी संख्या का अंतर।

उत्तर:

ये चार अंक हैं = 2, 5, 6 और 9

सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्याएँ क्रमशः 9652 और 2569 हैं।

उनके बीच का अंतर = (9652 – 2569) = 7083

(7083 > 5058)

ख) 5085 से कम सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या का अंतर।

उत्तर:

ये चार अंक हैं = 4, 5, 7 और 8

सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्याएँ क्रमशः 8754 और 4578 हैं।

उनके बीच का अंतर = (8754 – 4578) = 4176

(4176<5058)

(ग) 9779 से बड़ी और सबसे छोटी संख्याओं का योग।

उत्तर:

ये चार अंक हैं = 2, 4, 6 और 8

सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्याएँ क्रमशः 8642 और 2468 हैं।

इन संख्याओं का योग = (8642 + 2468) = 11110

(11110 > 9779)

घ) 9779 से छोटी सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्याओं का योग।

उत्तर:

ये चार अंक हैं = 1, 3, 5 और 7

सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्याएँ क्रमशः 7531 और 1357 हैं।

इन संख्याओं का योग = (7531 + 1357) = 8888

(8888 < 9779)

2.) सबसे छोटे और सबसे बड़े 5 अंकों वाले पैलिंड्रोम का योग क्या है? उनका अंतर क्या है?

उत्तर:

(यदि किसी संख्या के अंकों को उलट देने पर भी वह संख्या वही रहती है, तो उसे पैलिंड्रोम संख्या कहते हैं।)

सबसे छोटी 5 अंकों वाली पैलिंड्रोम संख्या = 10001 है।

सबसे बड़ी 5 अंकों वाली पैलिंड्रोम संख्या = 99999 है।

उनका योग = 99999 + 10001

= 1,10,000

उनके बीच का अंतर = (99999 – 10001) = 89998

3.) अभी समय 10:01 है। घड़ी में अगला पैलिंड्रोमिक समय दिखाने में कितने मिनट बाकी हैं? उसके बाद वाले समय में कितने मिनट बाकी हैं?

उत्तर:

10:01 बजे के बाद अगला पैलिंड्रोम 11:11 बजे आता है, जो 1 घंटा 10 मिनट = 70 मिनट बाद होता है।

अगली घड़ी 12:21 बजे आएगी, जो 2 घंटे 20 मिनट यानी 140 मिनट बाद होगी।

4.) 5683 संख्या को काप्रेकर स्थिरांक तक पहुँचने में कितने चक्कर लगते हैं?

उत्तर:

संख्या '6174' को 'काप्रेकर स्थिरांक' कहा जाता है।

संख्या = 5683

पहला ^दौर ,

सबसे बड़ी संख्या = 8653

सबसे छोटी संख्या = 3568

इन्हें घटाएं = (8653-3568) = 5085

इस चरण को दोहराएं।

अब, संख्या 5085 है

दूसरा ^दौर ,

सबसे बड़ी संख्या = 8550

सबसे छोटी संख्या = 0558

इनमें से घटाएँ = (8550-0558) = 7992

अब संख्या 7992 है

तीसरा ^दौर ,

अब संख्या 7173 है

चौथा ^दौर ,

अब संख्या 6354 है

5 ^वां दौर,

अब संख्या 3078 है

छठा ^दौर ,

अब संख्या 8352 है

सातवां ^दौर ,

अब संख्या 6174 है

अतः, संख्या 5683 को काप्रेकर स्थिरांक तक पहुँचने में 7 चक्कर लगते हैं।

3.8 मानसिक गणित

समझ से बाहर:

1) नीचे दिए गए प्रत्येक परिदृश्य के लिए, जहाँ भी संभव हो, एक उदाहरण लिखें।

क्या आप सभी मामलों के उदाहरण ढूंढ पाए? यदि नहीं, तो सोचिए और चर्चा कीजिए कि इसका कारण क्या हो सकता है। इसी तरह के अन्य प्रश्न बनाएं और अपने सहपाठियों को चुनौती दें।

उत्तर:

• 5 अंकों की संख्या + 5 अंकों की संख्या का योग 90,250 से अधिक होना चाहिए।

उदाहरण:

53197 + 46082 = 99279

• 5 अंकों की संख्या + 3 अंकों की संख्या मिलाकर 6 अंकों की संख्या प्राप्त होती है।

उदाहरण:

99887 + 987 = 100874

• चार अंकों की संख्या + चार अंकों की संख्या का योगफल छह अंकों की संख्या होता है।

उदाहरण:

• 5 अंकों की संख्या + 5 अंकों की संख्या का योग 6 अंकों का होता है।

उदाहरण:

34567 + 89012 = 123579

• 5 अंकों की संख्या + 5 अंकों की संख्या मिलाकर 18,500 प्राप्त होता है।

उदाहरण:

9500 + 9000 = 18500

• 5 अंकों की संख्या और 5 अंकों की संख्या के बीच का अंतर 56,503 से कम होना चाहिए।

उदाहरण:

98765 – 43210 = 55555

• 5 अंकों की संख्या को 3 अंकों की संख्या से गुणा करने पर 4 अंकों का अंतर प्राप्त होता है।

उदाहरण:

10000 – 999 = 9001

• 5 अंकों की संख्या - 4 अंकों की संख्या से 4 अंकों का अंतर प्राप्त होता है।

उदाहरण:

12345 – 6789 = 5556

• 5 अंकों की संख्या को 5 अंकों की संख्या से गुणा करने पर 3 अंकों का अंतर प्राप्त होता है।

उदाहरण:

98765 – 98432 = 333

• 5 अंकों का − 5 अंकों का मान 91,500 होता है।

उदाहरण:

क्या आप सभी मामलों के उदाहरण ढूंढ पाए? यदि नहीं, तो सोचिए और चर्चा कीजिए कि इसका कारण क्या हो सकता है। इसी तरह के अन्य प्रश्न बनाएं और अपने सहपाठियों को चुनौती दें।

दो मामलों को छोड़कर बाकी सभी में इसके उदाहरण मिलते हैं।

संकेत देना:

पहला मामला ^;

9999 (अधिकतम 4 अंकों की संख्या) + 9999 (अधिकतम 4 अंकों की संख्या) = 19998 (अधिकतम 5 अंकों की संख्या प्राप्त करने के लिए)

दूसरा मामला ^;

99999 (अधिकतम 5 अंकों की संख्या) - 10000 (अधिकतम 5 अंकों की संख्या) = 89999 (अधिकतम मान प्राप्त करने के लिए)

2.) हमेशा, कभी-कभी, कभी नहीं?

नीचे कुछ कथन दिए गए हैं। सोचिए, विश्लेषण कीजिए और पता लगाइए कि इनमें से प्रत्येक कथन 'हमेशा सत्य', 'कभी-कभी सत्य' या 'कभी सत्य नहीं' है। आप ऐसा क्यों सोचते हैं? अपने तर्क लिखिए; कक्षा में इस पर चर्चा कीजिए।

(क) 5 अंकों की संख्या + 5 अंकों की संख्या से 5 अंकों की संख्या प्राप्त होती है।

उत्तर: कभी-कभी ही सच होता है

कारण या उदाहरण:

10000 + 10000 = 20000 (5 अंकों की संख्या)

और 99999 + 99999 = 199998 (6 अंकों की संख्या)

ख) चार अंकों की संख्या + दो अंकों की संख्या से चार अंकों की संख्या प्राप्त होती है।

उत्तर: कभी-कभी ही सच होता है

कारण या उदाहरण:

1000 + 10 = 1010 (4 अंकों की संख्या)

और 9999 + 10 = 10009 (5 अंकों की संख्या)

(ग) 4 अंकों की संख्या + 2 अंकों की संख्या से 6 अंकों की संख्या प्राप्त होती है।

उत्तर: कभी सच नहीं

घ) 5 अंकों की संख्या – 5 अंकों की संख्या से 5 अंकों की संख्या प्राप्त होती है

उत्तर: कभी-कभी ही सच होता है

कारण या उदाहरण:

99999 – 10000 = 89999 (5 अंकों की संख्या)

और 98765 – 94321 = 4444 (4 अंकों की संख्या) इत्यादि।

(ई.) 5 अंकों की संख्या – 2 अंकों की संख्या से 3 अंकों की संख्या प्राप्त होती है

उत्तर:

कभी-कभी ही सच होता है

कारण या उदाहरण:

99999 – 99 = 99900 (5 अंकों की संख्या)

और 10000 – 50 = 9950 (4-अंकीय) इत्यादि।

3.12 खेल और जीतने की रणनीतियाँ

समझ से बाहर:

1). इस ग्रिड में केवल एक सुपरसेल (अपने सभी पड़ोसी सुपरसेलों से बड़ी संख्या) है। यदि आप किसी एक संख्या के दो अंकों का आदान-प्रदान करते हैं, तो 4 सुपरसेल हो जाएंगे। पता लगाइए कि किन अंकों का आदान-प्रदान करना है।

उत्तर:

इस तालिका में हम मध्य संख्या के दो अंकों को आपस में बदल देते हैं, ये दो अंक 1 और 6 हैं। इस प्रकार, हमें चार सुपरसेल मिलते हैं।

2) आपके जन्म वर्ष को कापरेकर स्थिरांक तक पहुँचने में कितने चक्कर लगते हैं?

उत्तर:

संख्या '6174' को 'काप्रेकर स्थिरांक' कहा जाता है।

जन्म वर्ष = 2012

स्टेप 1,

सबसे बड़ी संख्या = 2210

सबसे छोटी संख्या = 0122

उन्हें घटाएं = (2210 – 122) = 2088

इस चरण को दोहराएं।

अब यह संख्या 2088 है।

चरण दो,

अब संख्या 8532 है

चरण 3,

अब संख्या 6174 है

इसलिए, जन्म वर्ष 2012 को 'काप्रेका स्थिरांक' तक पहुंचने में केवल 3 चक्कर लगते हैं।

3) हम 35,000 और 75,000 के बीच की 5 अंकों की संख्याओं का एक समूह हैं, जिनमें सभी अंक विषम हैं। हमारे समूह में सबसे बड़ी संख्या कौन सी है? हमारे समूह में सबसे छोटी संख्या कौन सी है? हममें से कौन 50,000 के सबसे करीब है?

उत्तर:

हमारे समूह में सबसे बड़ी संख्या 73159 है।

हमारे समूह में सबसे छोटी संख्या 35791 है।

51593, 50,000 के सबसे निकटतम संख्या है।

4) सप्ताहांत, त्योहारों और सार्वजनिक अवकाशों सहित, एक वर्ष में आपको मिलने वाली छुट्टियों की संख्या का अनुमान लगाइए। फिर सटीक संख्या ज्ञात करने का प्रयास कीजिए और देखिए कि आपका अनुमान कितना सटीक है।

उत्तर:

आप खुद ही आजमाकर देखें, छुट्टियां स्कूल, विश्वविद्यालय, राज्य स्तरीय त्योहारों, सप्ताहांत आदि पर निर्भर करती हैं।

5) अनुमान लगाइए कि एक मग, एक बाल्टी और एक ओवरहेड टैंक में कितने लीटर पानी आ सकता है।

उत्तर:

(यह मग, बाल्टी और ऊपर लगे टैंक के आकार पर निर्भर करता है)।

6) एक 5-अंकीय संख्या और दो 3-अंकीय संख्याएँ लिखिए जिनका योग 18,670 हो।

उत्तर:

17170 (5 अंकों की संख्या) + 900 (3 अंकों की संख्या) + 600 (3 अंकों की संख्या) = 18670

7) 210 और 390 के बीच एक संख्या चुनें। सेक्शन 3.9 में दिखाए गए पैटर्न के समान एक संख्या पैटर्न बनाएं जिसका योग इस संख्या के बराबर हो।

उत्तर:

यह संख्या 320 है।

नमूना:

योग = 320