अध्याय 9: समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल

परिचय

क्षेत्रफल एक बंद आकृति द्वारा घेरे गए समतल क्षेत्र का माप होता है। इस अध्याय में, हम मुख्य रूप से समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अध्ययन करेंगे। हम यह समझेंगे कि एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित विभिन्न आकृतियों के क्षेत्रफलों के बीच क्या संबंध होता है। ये अवधारणाएँ ज्यामिति में क्षेत्रफल से संबंधित समस्याओं को हल करने और विभिन्न आकृतियों के गुणों को समझने के लिए महत्वपूर्ण हैं।

9.1 एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच आकृतियाँ

दो आकृतियाँ **एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित** कही जाती हैं यदि उनका एक उभयनिष्ठ आधार (या भुजा) हो, और उभयनिष्ठ आधार के सम्मुख शीर्ष (या शीर्ष समूह) उभयनिष्ठ आधार के समांतर एक रेखा पर स्थित हों। यह अवधारणा क्षेत्रफल से संबंधित कई महत्वपूर्ण प्रमेयों का आधार बनती है।

Illustration showing a parallelogram and a triangle on the same base and between the same parallel lines.

9.2 एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच समांतर चतुर्भुज

**प्रमेय:** एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं। इसका अर्थ है कि यदि आपके पास दो समांतर चतुर्भुज हैं, जैसे ABCD और ABEF, जो एक ही आधार AB पर स्थित हैं और एक ही समांतर रेखाओं AB और DE के बीच हैं, तो उनका क्षेत्रफल समान होगा। यह इसलिए है क्योंकि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार और संगत ऊँचाई का गुणनफल होता है, और इन स्थितियों में आधार और ऊँचाई दोनों समान होते हैं।

9.3 एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच त्रिभुज

**प्रमेय:** एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं। यह प्रमेय समांतर चतुर्भुजों के लिए उपरोक्त प्रमेय के समान है। यदि दो त्रिभुज, जैसे $\triangle ABC$ और $\triangle DBC$, एक ही आधार BC पर स्थित हैं और एक ही समांतर रेखाओं BC और AD के बीच हैं, तो उनका क्षेत्रफल समान होगा। ऐसा इसलिए है क्योंकि त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}$ × आधार × ऊँचाई होता है, और इन त्रिभुजों का आधार और ऊँचाई दोनों समान होते हैं।

इस अध्याय में हम यह भी समझेंगे कि किसी त्रिभुज की माध्यिका उसे दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करती है जिनका क्षेत्रफल बराबर होता है।

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर (Questions & Answers)

I. कुछ शब्दों या एक-दो वाक्यों में उत्तर दें।

  1. दो सर्वांगसम आकृतियों के क्षेत्रफल के बारे में आप क्या कह सकते हैं?

    दो सर्वांगसम आकृतियों के क्षेत्रफल हमेशा बराबर होते हैं।

  2. क्या बराबर क्षेत्रफल वाली दो आकृतियाँ सर्वांगसम होती हैं?

    नहीं, बराबर क्षेत्रफल वाली दो आकृतियाँ हमेशा सर्वांगसम नहीं होतीं।

  3. एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र क्या है?

    एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई।

  4. एक त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र क्या है?

    एक त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}$ × आधार × ऊँचाई।

  5. एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित दो समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल का क्या संबंध होता है?

    एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित दो समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।

II. प्रत्येक प्रश्न का एक लघु पैराग्राफ (लगभग 30 शब्द) में उत्तर दें।

  1. 'एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित आकृतियाँ' से क्या तात्पर्य है?

    दो आकृतियाँ एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित मानी जाती हैं यदि उनका एक उभयनिष्ठ आधार (या भुजा) हो, और उभयनिष्ठ आधार के सम्मुख शीर्ष (या शीर्ष समूह) उभयनिष्ठ आधार के समांतर एक रेखा पर स्थित हों।

  2. सिद्ध करें कि एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।

    यदि दो समांतर चतुर्भुज एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हों, तो उनकी ऊँचाई समान होती है। चूँकि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई, और दोनों का आधार तथा ऊँचाई समान है, इसलिए उनके क्षेत्रफल बराबर होंगे।

  3. सिद्ध करें कि एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।

    यदि दो त्रिभुज एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हों, तो उनकी ऊँचाई समान होती है। चूँकि त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}$ × आधार × ऊँचाई, और दोनों का आधार तथा ऊँचाई समान है, इसलिए उनके क्षेत्रफल बराबर होंगे।

  4. एक त्रिभुज का माध्यिका (Median) उसे कितने बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभाजित करती है?

    एक त्रिभुज की माध्यिका उसे दो ऐसे त्रिभुजों में विभाजित करती है जिनका क्षेत्रफल बराबर होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि दोनों त्रिभुजों का आधार एक ही रेखा पर होता है और शीर्ष उभयनिष्ठ होता है, जिससे उनकी ऊँचाई समान होती है, और माध्यिका आधार को दो बराबर भागों में बांटती है।

III. प्रत्येक प्रश्न का दो या तीन पैराग्राफ (100–150 शब्द) में उत्तर दें।

  1. सिद्ध करें कि एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है, और इस तथ्य का उपयोग करके समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल और त्रिभुज के क्षेत्रफल के बीच संबंध स्थापित करें।

    मान लीजिए ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और AC उसका एक विकर्ण है। हमने पिछले अध्याय में सीखा है कि एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है। अर्थात्, $\triangle ABC \cong \triangle CDA$। यह SAS, ASA या SSS सर्वांगसमता नियमों में से किसी एक का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, ASA नियम से: $AC = AC$ (उभयनिष्ठ), $\angle BAC = \angle DCA$ (एकांतर अंतःकोण), और $\angle BCA = \angle DAC$ (एकांतर अंतःकोण)।

    चूँकि दो सर्वांगसम आकृतियों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं, इसलिए क्षेत्रफल($\triangle ABC$) = क्षेत्रफल($\triangle CDA$)। समांतर चतुर्भुज ABCD का कुल क्षेत्रफल इन दोनों सर्वांगसम त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग होगा: क्षेत्रफल(समांतर चतुर्भुज ABCD) = क्षेत्रफल($\triangle ABC$) + क्षेत्रफल($\triangle CDA$) चूँकि क्षेत्रफल($\triangle ABC$) = क्षेत्रफल($\triangle CDA$), हम लिख सकते हैं: क्षेत्रफल(समांतर चतुर्भुज ABCD) = क्षेत्रफल($\triangle ABC$) + क्षेत्रफल($\triangle ABC$) या क्षेत्रफल(समांतर चतुर्भुज ABCD) = 2 × क्षेत्रफल($\triangle ABC$) यह संबंध दर्शाता है कि एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके किसी भी विकर्ण द्वारा बने एक त्रिभुज के क्षेत्रफल का दोगुना होता है। यह एक महत्वपूर्ण अवधारणा है जो हमें समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के बीच के संबंध को समझने में मदद करती है और क्षेत्रफल से संबंधित समस्याओं को सरल बनाने में उपयोगी है।

  2. सिद्ध करें कि एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं। इस प्रमेय का उपयोग ज्यामिति में कैसे किया जाता है?

    मान लीजिए दो त्रिभुज $\triangle ABC$ और $\triangle DBC$ एक ही आधार BC पर स्थित हैं और एक ही समांतर रेखाओं BC और AD के बीच हैं, जहाँ AD, BC के समांतर है और बिंदु A तथा D रेखा AD पर स्थित हैं। हमें यह सिद्ध करना है कि क्षेत्रफल($\triangle ABC$) = क्षेत्रफल($\triangle DBC$)। इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, हम एक रचनात्मक विधि का उपयोग कर सकते हैं। बिंदु C से AB के समांतर एक रेखा CE खींचिए जो रेखा AD को E पर काटती है। इसी प्रकार, बिंदु B से CD के समांतर एक रेखा BF खींचिए जो रेखा AD को F पर काटती है। इस प्रकार, ABCE एक समांतर चतुर्भुज होगा और DBCF भी एक समांतर चतुर्भुज होगा।

    हम जानते हैं कि एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित समांतर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं। अतः, क्षेत्रफल(समांतर चतुर्भुज ABCE) = क्षेत्रफल(समांतर चतुर्भुज DBCF)। अब, हमें यह भी पता है कि एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है, जिससे उन त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं। इसलिए, क्षेत्रफल($\triangle ABC$) = $\frac{1}{2}$ क्षेत्रफल(समांतर चतुर्भुज ABCE) (चूँकि AC विकर्ण है)। और क्षेत्रफल($\triangle DBC$) = $\frac{1}{2}$ क्षेत्रफल(समांतर चतुर्भुज DBCF) (चूँकि DC विकर्ण है)। चूँकि क्षेत्रफल(समांतर चतुर्भुज ABCE) = क्षेत्रफल(समांतर चतुर्भुज DBCF) है, तो यह स्पष्ट है कि क्षेत्रफल($\triangle ABC$) = क्षेत्रफल($\triangle DBC$)। इस प्रमेय का उपयोग विभिन्न ज्यामितीय समस्याओं में किया जाता है, जैसे किसी त्रिभुज की माध्यिका द्वारा समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों का निर्माण, या दो आकृतियों के क्षेत्रफलों की तुलना करना। यह ज्यामितीय प्रमाणों और निर्माणों में एक मौलिक उपकरण है।

(ब्राउज़र के प्रिंट-टू-पीडीएफ फ़ंक्शन का उपयोग करता है। दिखावट भिन्न हो सकती है।)