अध्याय 4: दो चरों वाले रैखिक समीकरण (Linear Equations in Two Variables)

परिचय

इस अध्याय में, हम दो चरों वाले रैखिक समीकरणों (Linear Equations in Two Variables) का अध्ययन करेंगे। हम जानेंगे कि ये समीकरण क्या होते हैं, उनका मानक रूप क्या है, और उन्हें कैसे हल किया जाता है। साथ ही, हम इन समीकरणों के ग्राफीय निरूपण और उनके गुणों पर भी चर्चा करेंगे, जो हमें वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने में मदद करते हैं।

4.1 रैखिक समीकरण का परिचय

एक ऐसा समीकरण जिसमें केवल एक चर होता है और उस चर की अधिकतम घात एक होती है, उसे रैखिक समीकरण (Linear Equation) कहते हैं। उदाहरण के लिए, $2x + 5 = 0$ एक चर में एक रैखिक समीकरण है। जब समीकरण में दो चर शामिल होते हैं और प्रत्येक चर की घात एक होती है, तो उसे दो चरों वाला रैखिक समीकरण कहा जाता है।

4.2 दो चरों वाले रैखिक समीकरण

दो चरों वाले रैखिक समीकरण का मानक रूप $ax + by + c = 0$ होता है, जहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं, और $a$ तथा $b$ दोनों शून्य नहीं होने चाहिए। यहाँ $x$ और $y$ दो चर हैं। उदाहरण के लिए, $3x + 4y = 7$ या $5x - 2y + 1 = 0$ दो चरों वाले रैखिक समीकरण हैं।

Illustration of a linear equation graph on a Cartesian plane.

4.3 रैखिक समीकरण के हल

दो चरों वाले रैखिक समीकरण का हल चरों के मानों का एक युग्म $(x, y)$ होता है, जो समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर उसे संतुष्ट करता है (अर्थात, समीकरण के बाएँ पक्ष का मान दाएँ पक्ष के मान के बराबर होता है)। एक रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं, क्योंकि हम एक चर के लिए कोई भी मान चुन सकते हैं और दूसरे के लिए संगत मान ज्ञात कर सकते हैं।

4.4 रैखिक समीकरण का ग्राफ

जब एक दो चर वाले रैखिक समीकरण के हलों को एक निर्देशांक तल पर आलेखित किया जाता है, तो वे हमेशा एक सीधी रेखा बनाते हैं। यही कारण है कि इन्हें 'रैखिक' समीकरण कहा जाता है। इस रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु समीकरण का एक हल होता है, और रेखा के बाहर कोई भी बिंदु समीकरण का हल नहीं होता है। ग्राफ खींचने के लिए, हमें कम से कम दो हल बिंदुओं की आवश्यकता होती है।

4.5 x और y अक्षों के समानांतर रेखाओं के समीकरण

x-अक्ष के समानांतर एक रेखा का समीकरण $y = k$ के रूप का होता है, जहाँ $k$ एक स्थिरांक है। यह रेखा y-अक्ष को बिंदु $(0, k)$ पर काटती है। इसी तरह, y-अक्ष के समानांतर एक रेखा का समीकरण $x = h$ के रूप का होता है, जहाँ $h$ एक स्थिरांक है। यह रेखा x-अक्ष को बिंदु $(h, 0)$ पर काटती है। ये विशेष मामले रैखिक समीकरणों की ग्राफीय समझ को और स्पष्ट करते हैं।

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर (Questions & Answers)

I. कुछ शब्दों या एक-दो वाक्यों में उत्तर दें।

  1. दो चरों वाले रैखिक समीकरण का मानक रूप क्या है?

    दो चरों वाले रैखिक समीकरण का मानक रूप $ax + by + c = 0$ है, जहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a$ तथा $b$ दोनों शून्य नहीं हैं।

  2. समीकरण $x+y=7$ का एक हल लिखें।

    $(3, 4)$ समीकरण $x+y=7$ का एक हल है क्योंकि $3+4=7$।

  3. $2x - 3y = 5$ में $a, b, c$ के मान क्या हैं?

    समीकरण को $2x - 3y - 5 = 0$ के रूप में लिखने पर, $a=2$, $b=-3$ और $c=-5$।

  4. क्या $y=0$ एक रैखिक समीकरण है?

    हाँ, $y=0$ एक रैखिक समीकरण है जिसे $0x + 1y + 0 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

  5. एक रैखिक समीकरण के कितने हल होते हैं?

    एक रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं।

II. प्रत्येक प्रश्न का एक लघु पैराग्राफ (लगभग 30 शब्द) में उत्तर दें।

  1. रैखिक समीकरण के हल से आप क्या समझते हैं?

    रैखिक समीकरण का हल चरों का वह मान युग्म होता है, जो समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर समीकरण को संतुष्ट करता है, अर्थात, बाईं ओर का मान दाईं ओर के मान के बराबर हो जाता है। उदाहरण के लिए, समीकरण $x+y=5$ के लिए $(2,3)$ एक हल है।

  2. समीकरण $x = 4$ का ग्राफ कैसा होता है?

    समीकरण $x = 4$ का ग्राफ y-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा होती है, जो x-अक्ष को बिंदु $(4, 0)$ पर काटती है। यह रेखा उन सभी बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करती है जिनका x-निर्देशांक 4 है।

  3. क्या $x=2y$ एक रैखिक समीकरण है? इसे मानक रूप में लिखें।

    हाँ, $x=2y$ एक रैखिक समीकरण है। इसे मानक रूप में $x - 2y + 0 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $a=1, b=-2, c=0$।

  4. एक रैखिक समीकरण का ग्राफ हमेशा क्या होता है?

    एक रैखिक समीकरण का ग्राफ हमेशा एक सीधी रेखा होता है। इसीलिए इन्हें 'रैखिक' समीकरण कहा जाता है, क्योंकि इनके सभी हल एक रेखा पर स्थित होते हैं।

III. प्रत्येक प्रश्न का दो या तीन पैराग्राफ (100–150 शब्द) में उत्तर दें।

  1. दो चरों वाले रैखिक समीकरण क्या हैं? उदाहरण सहित समझाइए कि उनके अनेक हल क्यों होते हैं।

    दो चरों वाले रैखिक समीकरण वे समीकरण होते हैं जिन्हें $ax + by + c = 0$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं, और $a$ तथा $b$ दोनों शून्य नहीं हैं। यहाँ $x$ और $y$ दो चर (variables) हैं, और चरों की अधिकतम घात 1 होती है, जिससे यह 'रैखिक' कहलाता है। ऐसे समीकरण एक सीधी रेखा को दर्शाते हैं जब उन्हें निर्देशांक तल पर आलेखित किया जाता है। इनका उपयोग विभिन्न वास्तविक-विश्व स्थितियों को गणितीय रूप से मॉडल करने के लिए किया जाता है जहाँ दो मात्राएँ रैखिक रूप से संबंधित होती हैं।

    एक दो चर वाले रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं। इसका कारण यह है कि हम एक चर के लिए कोई भी वास्तविक मान चुन सकते हैं, और फिर समीकरण को दूसरे चर के लिए हल कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण $x+y=10$ पर विचार करें। यदि हम $x=1$ लेते हैं, तो $y=9$, इसलिए $(1,9)$ एक हल है। यदि हम $x=5.5$ लेते हैं, तो $y=4.5$, इसलिए $(5.5,4.5)$ भी एक हल है। इसी प्रकार, हम $x$ के लिए किसी भी वास्तविक संख्या का चयन कर सकते हैं (चाहे वह धनात्मक, ऋणात्मक, भिन्न या दशमलव हो) और $y$ का एक संगत मान प्राप्त कर सकते हैं जो समीकरण को संतुष्ट करेगा। चूंकि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय अपरिमित है, इसलिए इस प्रकार के समीकरणों के लिए हल युग्मों की संख्या भी अपरिमित होती है, और ये सभी हल एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं।

  2. दो चरों वाले रैखिक समीकरण का ग्राफ कैसे खींचा जाता है? एक उदाहरण देकर समझाइए।

    दो चरों वाले रैखिक समीकरण का ग्राफ खींचने के लिए, हमें कम से कम दो हल युग्मों की आवश्यकता होती है, क्योंकि ज्यामिति में दो अद्वितीय बिंदु एक सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं। ग्राफ खींचने की प्रक्रिया में निम्नलिखित चरण शामिल हैं: 1. **समीकरण को व्यवस्थित करें:** समीकरण को ऐसे रूप में लिखें जिससे एक चर को दूसरे के पदों में व्यक्त करना आसान हो (उदाहरण के लिए, $y = mx + c$ या $x = ny + k$)। इससे मान ज्ञात करना आसान हो जाता है। 2. **हल युग्म ज्ञात करें:** चर में से किसी एक के लिए कम से कम दो (या आदर्श रूप से तीन, सत्यापन के लिए) सुविधाजनक मान चुनें और समीकरण में रखकर दूसरे चर के संगत मान ज्ञात करें। ये मान $(x, y)$ के रूप में क्रमित युग्म (ordered pairs) होंगे जो समीकरण के हल हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण $x + 2y = 6$ के लिए: * यदि $x=0$, तो $2y=6 \Rightarrow y=3$। हल है $(0,3)$। * यदि $y=0$, तो $x=6$। हल है $(6,0)$। * यदि $x=2$, तो $2 + 2y = 6 \Rightarrow 2y = 4 \Rightarrow y=2$। हल है $(2,2)$।

    3. **बिंदुओं को आलेखित करें:** एक कार्टेशियन तल पर इन ज्ञात हल युग्मों को बिंदुओं के रूप में आलेखित करें। x-अक्ष पर x-निर्देशांक और y-अक्ष पर y-निर्देशांक के अनुसार बिंदुओं को चिह्नित करें। 4. **रेखा खींचें:** आलेखित किए गए सभी बिंदुओं को एक सीधी रेखा से जोड़ें। यह रेखा दिए गए रैखिक समीकरण का ग्राफ होगी। यह महत्वपूर्ण है कि रेखा एक सीधी रेखा बने; यदि ऐसा नहीं होता है, तो इसका मतलब है कि गणना में कोई गलती हुई है। इस रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु समीकरण का हल होगा, और रेखा के बाहर कोई भी बिंदु समीकरण का हल नहीं होगा, जो ग्राफीय निरूपण की सटीकता को दर्शाता है।

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