अध्याय 13: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes)

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर (Questions & Answers)

I. कुछ शब्दों या एक-दो वाक्यों में उत्तर दें।

1. घन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र क्या है?

   घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6a^2$, जहाँ 'a' घन की भुजा है।

2. बेलन के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र क्या है?

   बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi rh$, जहाँ 'r' आधार की त्रिज्या और 'h' ऊँचाई है।

3. शंकु के आयतन का सूत्र क्या है?

   शंकु का आयतन $= \frac{1}{3} \pi r^2 h$, जहाँ 'r' आधार की त्रिज्या और 'h' ऊँचाई है।

4. गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र क्या है?

   गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 4\pi r^2$, जहाँ 'r' गोले की त्रिज्या है।

5. घनाभ के आयतन का सूत्र क्या है?

   घनाभ का आयतन $= l \times b \times h$, जहाँ 'l' लंबाई, 'b' चौड़ाई और 'h' ऊँचाई है।

II. प्रत्येक प्रश्न का एक लघु पैराग्राफ (लगभग 30 शब्द) में उत्तर दें।

1. पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन में क्या अंतर है?

   **पृष्ठीय क्षेत्रफल** किसी 3D वस्तु की बाहरी सतह का कुल क्षेत्रफल होता है, जिसे 2D इकाइयों (जैसे $cm^2$) में मापा जाता है। **आयतन** किसी 3D वस्तु द्वारा घेरा गया स्थान होता है, जिसे 3D इकाइयों (जैसे $cm^3$) में मापा जाता है।

2. एक बंद बेलन और एक खुले बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र में क्या अंतर है?

   एक **बंद बेलन** का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi r(h+r)$ होता है, जिसमें शीर्ष और आधार दोनों के क्षेत्रफल शामिल होते हैं। एक **खुले (एक सिरे पर खुले)** बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi rh + \pi r^2$ होता है, क्योंकि इसमें केवल एक आधार का क्षेत्रफल शामिल होता है।

3. एक शंकु की तिर्यक ऊँचाई (slant height) क्यों महत्वपूर्ण है?

   शंकु की **तिर्यक ऊँचाई (l)** उसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए महत्वपूर्ण है। यह $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ सूत्र से ज्ञात की जाती है, जहाँ 'r' आधार त्रिज्या और 'h' ऊँचाई है। शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र $\pi rl$ होता है।

4. क्या किसी घनाभ के आयतन में परिवर्तन के बिना उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल बदला जा सकता है? एक उदाहरण दें।

   हाँ, बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, 12 $cm^3$ आयतन वाले घनाभ के लिए, $l=12, b=1, h=1$ ($TSA = 50cm^2$) और $l=3, b=2, h=2$ ($TSA = 32cm^2$) के अलग-अलग पृष्ठीय क्षेत्रफल हो सकते हैं, जबकि आयतन समान रहता है। यह दर्शाता है कि एक ही आयतन के लिए अलग-अलग आकार की वस्तुएं हो सकती हैं।

III. प्रत्येक प्रश्न का दो या तीन पैराग्राफ (100–150 शब्द) में उत्तर दें।

1. घन और घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के सूत्रों को विस्तार से समझाएँ।

   **घनाभ (Cuboid):** एक घनाभ एक त्रि-आयामी आकृति है जिसमें छह आयताकार फलक होते हैं। यह एक ईंट, माचिस की डिब्बी या एक कमरा जैसा दिख सकता है। * **कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area - TSA):** यह घनाभ के सभी छह फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है। यदि घनाभ की लंबाई 'l', चौड़ाई 'b' और ऊँचाई 'h' है, तो इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है: $TSA = 2(lb + bh + hl)$ यह सूत्र इसलिए है क्योंकि घनाभ में तीन जोड़ी समान आयताकार फलक होते हैं: सामने और पीछे ($l \times h$), ऊपर और नीचे ($l \times b$), और दाएं और बाएं ($b \times h$)। * **पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (Lateral Surface Area - LSA):** यह घनाभ के चारों ओर के फलकों का क्षेत्रफल होता है, जिसमें ऊपर और नीचे के फलक (छत और फर्श) शामिल नहीं होते हैं। यह सूत्र है: $LSA = 2h(l + b)$ या इसे आधार के परिमाप ($2(l+b)$) और ऊँचाई (h) के गुणनफल के रूप में भी समझा जा सकता है। * **आयतन (Volume - V):** आयतन घनाभ द्वारा घेरा गया स्थान होता है। यह उसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है: $V = l \times b \times h$

   **घन (Cube):** एक घन एक विशेष प्रकार का घनाभ है जिसकी सभी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। यह एक पासे या चीनी के घन जैसा दिखता है। यदि घन की प्रत्येक भुजा 'a' है: * **कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA):** चूँकि घन के सभी छह फलक समान वर्ग होते हैं, और प्रत्येक वर्ग का क्षेत्रफल $a^2$ होता है, तो कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है: $TSA = 6a^2$ * **पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (LSA):** यह घन के चारों फलकों का क्षेत्रफल होता है, जिसमें शीर्ष और आधार शामिल नहीं होते हैं: $LSA = 4a^2$ * **आयतन (V):** घन का आयतन उसकी भुजा के घन के बराबर होता है: $V = a \times a \times a = a^3$ इन सूत्रों का उपयोग विभिन्न व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में किया जाता है, जैसे किसी डिब्बे में कितनी वस्तुएं समा सकती हैं, या किसी टैंक में कितना पानी आ सकता है।

2. एक लंब वृत्तीय शंकु और एक गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के सूत्रों को समझाइए।

   **लंब वृत्तीय शंकु (Right Circular Cone):** एक शंकु एक त्रि-आयामी आकृति है जिसका आधार वृत्ताकार होता है और एक शीर्ष होता है जो आधार के केंद्र से लंबवत ऊपर होता है (जैसे आइसक्रीम कोन या पार्टी हैट)। * **वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved Surface Area - CSA):** यह शंकु के केवल घुमावदार (तिरछे) भाग का क्षेत्रफल होता है। यदि आधार की त्रिज्या 'r' और तिर्यक ऊँचाई 'l' है, तो सूत्र है: $CSA = \pi rl$ तिर्यक ऊँचाई $l$ को शंकु की सामान्य ऊँचाई 'h' और त्रिज्या 'r' का उपयोग करके पाइथागोरस प्रमेय से ज्ञात किया जा सकता है: $l = \sqrt{r^2 + h^2}$। * **कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area - TSA):** यह शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और उसके वृत्ताकार आधार के क्षेत्रफल का योग होता है: $TSA = \pi rl + \pi r^2 = \pi r(l+r)$ * **आयतन (Volume - V):** शंकु द्वारा घेरा गया स्थान। यह एक समान आधार और ऊँचाई वाले बेलन के आयतन का एक तिहाई होता है: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

   **गोला (Sphere):** एक गोला एक पूर्णतः गोल त्रि-आयामी वस्तु है जहाँ सतह पर प्रत्येक बिंदु केंद्र से समान दूरी पर होता है (जैसे एक गेंद या पृथ्वी)। * **पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area - SA):** यह गोले की पूरी बाहरी सतह का क्षेत्रफल होता है। यदि गोले की त्रिज्या 'r' है, तो सूत्र है: $SA = 4\pi r^2$ ध्यान दें कि गोले में कोई अलग वक्र या समतल पृष्ठीय क्षेत्रफल नहीं होता है; इसकी पूरी सतह घुमावदार होती है। * **आयतन (Volume - V):** यह गोले द्वारा घेरा गया स्थान होता है। यह सूत्र है: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ इन ज्यामितीय आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के सूत्र इंजीनियरिंग, भौतिक विज्ञान और खगोल विज्ञान जैसे विभिन्न क्षेत्रों में महत्वपूर्ण हैं, जहाँ हमें सामग्री की आवश्यकता, क्षमता या किसी वस्तु द्वारा घेरे गए स्थान की गणना करने की आवश्यकता होती है।