अध्याय 12: हीरोन का सूत्र (Heron's Formula)

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर (Questions & Answers)

I. कुछ शब्दों या एक-दो वाक्यों में उत्तर दें।

1. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सामान्य सूत्र क्या है?

   त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}$ × आधार × ऊँचाई।

2. हीरोन का सूत्र किस प्रकार के त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उपयोगी है?

   हीरोन का सूत्र उन त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उपयोगी है जिनकी **तीनों भुजाएँ** ज्ञात हों और ऊँचाई आसानी से उपलब्ध न हो।

3. हीरोन के सूत्र में 's' क्या दर्शाता है?

   's' त्रिभुज के **अर्ध-परिमाप (semi-perimeter)** को दर्शाता है, जो तीनों भुजाओं के योग का आधा होता है।

4. यदि एक त्रिभुज की भुजाएँ a, b, c हों, तो उसका अर्ध-परिमाप (s) क्या होगा?

   $s = \frac{a+b+c}{2}$।

5. क्या हीरोन के सूत्र का उपयोग चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है?

   हाँ, चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित करके और फिर प्रत्येक त्रिभुज के लिए हीरोन का सूत्र लगाकर।

II. प्रत्येक प्रश्न का एक लघु पैराग्राफ (लगभग 30 शब्द) में उत्तर दें।

1. हीरोन का सूत्र लिखें और समझाएं कि यह कब अधिक उपयोगी होता है।

   हीरोन का सूत्र है: क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, जहाँ $s = \frac{a+b+c}{2}$। यह सूत्र तब बहुत उपयोगी होता है जब त्रिभुज की तीनों भुजाएँ ज्ञात हों, लेकिन उसकी ऊँचाई आसानी से ज्ञात न हो, विशेषकर विषमबाहु त्रिभुजों के लिए।

2. एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हीरोन के सूत्र का उपयोग कैसे किया जा सकता है?

   समबाहु त्रिभुज की तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं, मान लीजिए 'a'। अर्ध-परिमाप $s = \frac{3a}{2}$ होगा। इन मानों को हीरोन के सूत्र में प्रतिस्थापित करके, समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ प्राप्त किया जा सकता है, जो सामान्य सूत्र से भी निकाला जा सकता है।

3. त्रिभुज का परिमाप क्या होता है?

   त्रिभुज का परिमाप उसकी तीनों भुजाओं की लंबाइयों का योग होता है। यह त्रिभुज के चारों ओर की कुल दूरी का प्रतिनिधित्व करता है। यदि भुजाएँ a, b, c हों, तो परिमाप = a + b + c।

4. क्या किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हीरोन के सूत्र का उपयोग करने से पहले भुजाओं की लंबाइयों की कोई शर्त होती है?

   हाँ, त्रिभुज की तीनों भुजाएँ ज्ञात होनी चाहिए। साथ ही, त्रिभुज असमानता नियम का पालन करना चाहिए, अर्थात किन्हीं भी दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होना चाहिए। यदि यह शर्त पूरी नहीं होती, तो त्रिभुज संभव नहीं है।

III. प्रत्येक प्रश्न का दो या तीन पैराग्राफ (100–150 शब्द) में उत्तर दें।

1. हीरोन का सूत्र क्या है और यह कैसे विकसित हुआ? यह त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के पारंपरिक तरीके से किस प्रकार भिन्न है?

   हीरोन का सूत्र त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की एक विधि है जब उसकी तीनों भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो। यदि त्रिभुज की भुजाएँ $a$, $b$, और $c$ हैं, और उसका अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2}$ है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है:
   क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
   यह सूत्र प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ **हीरोन ऑफ अलेक्जेंड्रिया** द्वारा विकसित किया गया था। यह उनके कार्य "मेट्रिका" (Metrica) में पाया गया था, जो लगभग 60 ईस्वी पूर्व लिखा गया था। हीरोन ने इस सूत्र को विभिन्न प्रकार के त्रिभुजों के लिए लागू करने की आवश्यकता महसूस की, खासकर जब ऊँचाई ज्ञात करना मुश्किल या असंभव था।

   त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का **पारंपरिक तरीका** है: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}$ × आधार × ऊँचाई। इस सूत्र का उपयोग करने के लिए, हमें त्रिभुज का एक आधार और उस आधार के संगत ऊँचाई (उस आधार पर शीर्ष से डाला गया लंब) की आवश्यकता होती है। कई स्थितियों में, जैसे विषमबाहु त्रिभुजों में, ऊँचाई को सीधे मापना या गणना करना कठिन हो सकता है। यहीं पर हीरोन का सूत्र अधिक उपयोगी हो जाता है। यह हमें केवल तीनों भुजाओं की लंबाई के आधार पर क्षेत्रफल की गणना करने की सुविधा प्रदान करता है, जिससे ऊँचाई को ज्ञात करने की आवश्यकता समाप्त हो जाती है। यह उन समस्याओं के लिए विशेष रूप से फायदेमंद है जहाँ हमें केवल भुजाओं की जानकारी होती है और हमें त्रिभुज को आलेखित करने या उसकी ऊँचाई को मापने की आवश्यकता नहीं होती है।

2. हीरोन के सूत्र का उपयोग करके एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जा सकता है? एक उदाहरण के साथ समझाएँ।

   हीरोन के सूत्र का उपयोग सीधे चतुर्भुज पर नहीं किया जा सकता है, क्योंकि यह विशेष रूप से त्रिभुजों के लिए तैयार किया गया है। हालांकि, हम चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित करके इसका उपयोग कर सकते हैं। इसके लिए, चतुर्भुज के किसी एक विकर्ण (diagonal) को खींचते हैं। यह विकर्ण चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित कर देगा। चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = क्षेत्रफल($\triangle ABC$) + क्षेत्रफल($\triangle ADC$)। अब, हम प्रत्येक त्रिभुज के लिए हीरोन का सूत्र अलग-अलग लागू कर सकते हैं।

   **उदाहरण:** मान लीजिए एक चतुर्भुज ABCD की भुजाएँ $AB = 7$ cm, $BC = 8$ cm, $CD = 5$ cm, $DA = 6$ cm हैं और विकर्ण $AC = 10$ cm है। 1. **$\triangle ABC$ के लिए:** भुजाएँ $a = 7$ cm, $b = 8$ cm, $c = 10$ cm। अर्ध-परिमाप $s_1 = \frac{7+8+10}{2} = \frac{25}{2} = 12.5$ cm। क्षेत्रफल($\triangle ABC$) = $\sqrt{12.5(12.5-7)(12.5-8)(12.5-10)}$ $= \sqrt{12.5 \times 5.5 \times 4.5 \times 2.5} = \sqrt{773.4375} \approx 27.81$ cm$^2$। 2. **$\triangle ADC$ के लिए:** भुजाएँ $a = 6$ cm, $b = 5$ cm, $c = 10$ cm। अर्ध-परिमाप $s_2 = \frac{6+5+10}{2} = \frac{21}{2} = 10.5$ cm। क्षेत्रफल($\triangle ADC$) = $\sqrt{10.5(10.5-6)(10.5-5)(10.5-10)}$ $= \sqrt{10.5 \times 4.5 \times 5.5 \times 0.5} = \sqrt{129.375} \approx 11.37$ cm$^2$। चतुर्भुज ABCD का कुल क्षेत्रफल = क्षेत्रफल($\triangle ABC$) + क्षेत्रफल($\triangle ADC$) $\approx 27.81 + 11.37 = 39.18$ cm$^2$। इस प्रकार, हीरोन के सूत्र का उपयोग चतुर्भुज के क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए एक बहुमुखी तरीका प्रदान करता है, बशर्ते कि उसकी सभी भुजाएँ और एक विकर्ण की लंबाई ज्ञात हो।