अध्याय 4: सरल समीकरण (Simple Equations)
परिचय
इस अध्याय में हम गणित की एक बहुत ही महत्वपूर्ण अवधारणा, सरल समीकरणों (Simple Equations) के बारे में सीखेंगे। समीकरण गणितीय समस्याओं को हल करने का एक शक्तिशाली तरीका है। एक समीकरण एक तराजू की तरह होता है, जिसमें दोनों पलड़ों (sides) का वजन बराबर होता है। समीकरणों का उपयोग गणित के अलावा विज्ञान और दैनिक जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए भी किया जाता है।
4.1 समीकरण क्या है?
एक समीकरण एक गणितीय कथन होता है जिसमें एक समता चिह्न (=) का उपयोग करके दो व्यंजकों (expressions) को बराबर दिखाया जाता है। समीकरण में एक या अधिक चर (variables) होते हैं, जैसे $x$ या $y$, जिनका मान ज्ञात करना होता है।
- चर (Variable): एक अज्ञात राशि जिसका मान बदल सकता है। इसे अक्सर $x, y, z$ जैसे अक्षरों से दर्शाया जाता है।
- अचर (Constant): एक निश्चित संख्यात्मक मान।
- दायाँ पक्ष (RHS): समता चिह्न के दाईं ओर का व्यंजक।
- बायाँ पक्ष (LHS): समता चिह्न के बाईं ओर का व्यंजक।
उदाहरण: $x + 5 = 10$ एक समीकरण है, जहाँ $x$ चर है, $5$ और $10$ अचर हैं, $x+5$ बायाँ पक्ष है और $10$ दायाँ पक्ष है।
4.2 समीकरणों को हल करना
किसी समीकरण को हल करने का मतलब है चर का वह मान ज्ञात करना जो समीकरण को संतुष्ट करता है। इसे करने के लिए दो मुख्य तरीके हैं:
1. संतुलित विधि: इस विधि में, हम समीकरण के दोनों पक्षों (LHS और RHS) पर समान संक्रिया (जैसे जोड़ना, घटाना, गुणा करना या भाग देना) करते हैं, ताकि समीकरण का संतुलन बना रहे। हमारा लक्ष्य चर को एक तरफ अकेला छोड़ना होता है।
2. पक्षांतरण विधि (Transposing): इस विधि में, हम किसी भी पद को एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाते हैं। जब कोई पद एक पक्ष से दूसरे पक्ष में जाता है, तो उसका चिह्न बदल जाता है। जैसे, यदि कोई पद $+$ के साथ है, तो दूसरी तरफ जाकर वह $-$ का हो जाएगा, और यदि $\times$ के साथ है, तो $\div$ का हो जाएगा।
4.3 समीकरण बनाना
दैनिक जीवन की समस्याओं को गणितीय समीकरणों में बदलना एक महत्वपूर्ण कौशल है। अक्सर, हमें एक कथन दिया जाता है और हमें उसे समीकरण के रूप में लिखना होता है।
उदाहरण: "एक संख्या में 4 जोड़ने पर 15 मिलता है।" * मान लीजिए वह संख्या $x$ है। * "एक संख्या में 4 जोड़ना" को $x + 4$ लिखते हैं। * "15 मिलता है" का मतलब है कि परिणाम 15 के बराबर है। * तो, समीकरण है: $x + 4 = 15$।
पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर (Questions & Answers)
I. कुछ शब्दों या एक-दो वाक्यों में उत्तर दें।
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एक समीकरण में समता चिह्न (=) क्या दर्शाता है?
समता चिह्न यह दर्शाता है कि बाएँ पक्ष (LHS) और दाएँ पक्ष (RHS) का मान बराबर है।
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$3x + 2 = 11$ में चर (variable) क्या है?
इस समीकरण में चर $x$ है।
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क्या $x < 5$ एक समीकरण है? क्यों?
नहीं, यह एक समीकरण नहीं है क्योंकि इसमें समता चिह्न (=) का उपयोग नहीं हुआ है। यह एक असमीकरण (inequality) है।
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यदि $x = 4$ है, तो समीकरण $x + 3 = 7$ का हल क्या है?
यदि $x = 4$ है, तो $4 + 3 = 7$ होता है, इसलिए $x = 4$ समीकरण का हल है।
II. प्रत्येक प्रश्न का एक लघु पैराग्राफ (लगभग 30 शब्द) में उत्तर दें।
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समीकरण $2x - 3 = 7$ के लिए $x=5$ एक हल है, इसकी जाँच कैसे करेंगे?
समीकरण के बाएँ पक्ष (LHS) में $x=5$ रखने पर, हमें $2(5) - 3 = 10 - 3 = 7$ मिलता है। क्योंकि बायाँ पक्ष (LHS) दाएँ पक्ष (RHS) के बराबर है, इसलिए $x=5$ इस समीकरण का हल है।
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कथन "किसी संख्या के तीन गुने में 5 जोड़ने पर 20 प्राप्त होता है" को समीकरण में बदलें।
माना कि वह संख्या $x$ है। इसका तीन गुना $3x$ होगा। इसमें 5 जोड़ने पर $3x + 5$ मिलता है। प्रश्न के अनुसार, यह 20 के बराबर है। अतः, समीकरण $3x + 5 = 20$ है।
III. प्रत्येक प्रश्न का दो या तीन पैराग्राफ (100–150 शब्द) में उत्तर दें।
समीकरण को हल करने की संतुलित विधि में, हम तराजू के सिद्धांत का पालन करते हैं: जो भी संक्रिया हम समीकरण के एक पक्ष पर करते हैं, वही संक्रिया दूसरे पक्ष पर भी करनी चाहिए ताकि दोनों पक्ष बराबर रहें। हमारा उद्देश्य चर को एक तरफ अकेला छोड़ना है। उदाहरण के लिए, समीकरण $x + 4 = 9$ को हल करते हैं। हमें $x$ को अकेला छोड़ना है, इसलिए हम दोनों पक्षों में से 4 घटा देंगे।
यह क्रिया इस प्रकार होगी: $x + 4 - 4 = 9 - 4$ $x + 0 = 5$ $x = 5$ यहाँ, हमने दोनों पक्षों से 4 घटाया ताकि बाएँ पक्ष से 4 हट जाए और चर $x$ अकेला रह जाए। इसी तरह, यदि चर गुणा में हो, तो दोनों पक्षों को समान संख्या से भाग दिया जाता है। यह विधि समीकरण के संतुलन को बनाए रखती है और सही हल तक पहुँचने में मदद करती है।
पक्षांतरण विधि समीकरणों को हल करने का एक सरल और तेज़ तरीका है। इसमें हम समीकरण के एक पक्ष से किसी पद को उठाकर दूसरे पक्ष में ले जाते हैं। जब कोई पद अपना पक्ष बदलता है, तो उसका चिह्न भी बदल जाता है। योग ($+$) घटाव ($-$) में बदल जाता है, और घटाव ($-$) योग ($+$) में बदल जाता है। इसी तरह, गुणा ($\times$) भाग ($\div$) में बदल जाता है, और भाग ($\div$) गुणा ($\times$) में बदल जाता है।
उदाहरण के लिए, समीकरण $x - 7 = 12$ को हल करते हैं। हम $-7$ को बाएँ पक्ष से दाएँ पक्ष में पक्षांतरण करेंगे। चूंकि $-7$ बाएँ पक्ष में घटाव में है, तो दाएँ पक्ष में जाकर यह जोड़ में बदल जाएगा। $x = 12 + 7$ $x = 19$ एक और उदाहरण, समीकरण $5x = 25$ को हल करते हैं। यहाँ 5, $x$ के साथ गुणा में है, इसलिए इसे दाएँ पक्ष में ले जाने पर यह भाग में बदल जाएगा। $x = 25 \div 5$ $x = 5$ पक्षांतरण विधि हमें समीकरण को हल करने में बहुत समय बचाती है और यह एक बहुत ही व्यावहारिक तरीका है।
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