अध्याय 2: भिन्न एवं दशमलव (Fractions and Decimals)
परिचय
इस अध्याय में, हम भिन्नों और दशमलव संख्याओं के बारे में विस्तार से जानेंगे। पिछली कक्षाओं में आपने इन संख्याओं से परिचय किया था। यहाँ हम उनके प्रकारों, उनके बीच तुलना करने के तरीकों और उन पर की जाने वाली विभिन्न गणितीय संक्रियाओं (जोड़, घटाव, गुणा, और विभाजन) का अध्ययन करेंगे। यह ज्ञान वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने में बहुत उपयोगी है।
2.1 भिन्न (Fractions)
भिन्न एक संख्या है जो एक पूर्ण वस्तु के भाग को दर्शाती है। इसमें एक अंश (numerator) और एक हर (denominator) होता है। भिन्नों को मुख्यतः तीन प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है:
- उचित भिन्न (Proper Fraction): अंश हर से छोटा होता है। जैसे: $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$।
- विषम भिन्न (Improper Fraction): अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है। जैसे: $\frac{5}{3}$, $\frac{7}{2}$।
- मिश्रित भिन्न (Mixed Fraction): एक पूर्ण संख्या और एक उचित भिन्न का संयोजन। जैसे: $2\frac{1}{2}$।
2.2 भिन्नों पर संक्रियाएँ (Operations on Fractions)
भिन्नों को जोड़ने या घटाने के लिए, उनके हर को समान बनाना आवश्यक होता है, जिसके लिए हम लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का उपयोग करते हैं।
भिन्नों का गुणा: अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करते हैं। जैसे: $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$।
भिन्नों का विभाजन: पहले भिन्न को दूसरे भिन्न के व्युत्क्रम (reciprocal) से गुणा करते हैं। जैसे: $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$।
2.3 दशमलव (Decimals)
दशमलव ऐसी संख्याएँ होती हैं जिनमें एक दशमलव बिंदु होता है। यह संख्याओं को पूर्ण संख्याओं और उसके भागों में विभाजित करता है। दशमलव बिंदु के बाद के अंक दहाई, सैकड़ा, हज़ार आदि के भाग दर्शाते हैं। जैसे, 15.34 में, 3 का मान $\frac{3}{10}$ है और 4 का मान $\frac{4}{100}$ है।
2.4 दशमलव पर संक्रियाएँ (Operations on Decimals)
दशमलव संख्याओं को जोड़ते या घटाते समय, दशमलव बिंदु को हमेशा एक ही रेखा में रखा जाता है।
दशमलव का गुणा: संख्याओं को बिना दशमलव के गुणा करते हैं, और फिर गुणनफल में दशमलव बिंदु को सही स्थान पर रखते हैं। दशमलव बिंदु के बाद कुल अंकों की संख्या, गुणनफल के दशमलव बिंदु के बाद के अंकों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
दशमलव का विभाजन: भाजक को एक पूर्ण संख्या बनाने के लिए दशमलव बिंदु को दाईं ओर खिसकाते हैं। भाज्य के दशमलव बिंदु को भी उतने ही स्थान खिसकाया जाता है।
2.5 भिन्न और दशमलव में संबंध
किसी भी भिन्न को दशमलव में और किसी भी दशमलव को भिन्न में बदला जा सकता है। एक भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, अंश को हर से विभाजित करते हैं। दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए, दशमलव बिंदु के बाद के अंकों की संख्या के अनुसार 10, 100, 1000 आदि को हर में रखते हैं। जैसे: $\frac{3}{4} = 0.75$ और $0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$।
पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर (Questions & Answers)
I. कुछ शब्दों या एक-दो वाक्यों में उत्तर दें।
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उचित भिन्न क्या होता है?
उचित भिन्न वह भिन्न होता है जिसका अंश उसके हर से छोटा होता है।
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$3\frac{1}{2}$ को विषम भिन्न में बदलें।
$3\frac{1}{2}$ का विषम भिन्न रूप $\frac{7}{2}$ है।
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0.45 का भिन्नात्मक रूप क्या है?
0.45 का भिन्नात्मक रूप $\frac{45}{100}$ या $\frac{9}{20}$ है।
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दो भिन्नों को गुणा करने का नियम क्या है?
अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करते हैं।
II. प्रत्येक प्रश्न का एक लघु पैराग्राफ (लगभग 30 शब्द) में उत्तर दें।
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भिन्नों की तुलना कैसे करते हैं?
भिन्नों की तुलना करने के लिए, हम उनके हर को समान बनाते हैं। जिस भिन्न का अंश बड़ा होता है, वह भिन्न बड़ा होता है। यदि हर समान नहीं हैं, तो हम LCM लेकर हर को समान बनाते हैं और फिर अंशों की तुलना करते हैं।
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$1.2 \times 0.5$ को कैसे हल करेंगे?
पहले संख्याओं को बिना दशमलव के गुणा करें: $12 \times 5 = 60$। फिर, दशमलव बिंदुओं के बाद के अंकों की कुल संख्या (1+1=2) गिनें और गुणनफल में दाईं ओर से दो अंकों के बाद दशमलव बिंदु लगा दें। उत्तर $0.60$ या $0.6$ होगा।
III. प्रत्येक प्रश्न का दो या तीन पैराग्राफ (100–150 शब्द) में उत्तर दें।
दशमलव संख्याओं को जोड़ने या घटाने के लिए सबसे महत्वपूर्ण नियम है कि सभी संख्याओं के दशमलव बिंदु एक सीधी रेखा में होने चाहिए। हम संख्याओं को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं कि दशमलव बिंदु एक-दूसरे के नीचे आएँ, और फिर सामान्य संख्याओं की तरह जोड़ या घटाव करते हैं। यदि किसी संख्या में दशमलव बिंदु के बाद कम अंक हैं, तो हम शून्य (0) लगाकर अंकों को बराबर कर सकते हैं।
उदाहरण के लिए, $15.35 + 2.7$ को जोड़ने के लिए, हम $2.7$ को $2.70$ के रूप में लिखते हैं और फिर उन्हें एक साथ जोड़ते हैं:
15.35
+ 2.70
------
18.05
घटाव के लिए भी यही नियम लागू होता है। $12.5 - 3.25$ को घटाने के लिए, हम $12.5$ को $12.50$ के रूप में लिखते हैं:
12.50
- 3.25
------
9.25
इस विधि से दशमलव संख्याओं का योग और घटाव करना आसान हो जाता है।
दो भिन्नों को गुणा करना बहुत सरल है। इसके लिए, हमें अंश को अंश से गुणा करना होता है और हर को हर से गुणा करना होता है। प्राप्त गुणनफल ही हमारा उत्तर होता है, जिसे हम सरलतम रूप में बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, $\frac{3}{5} \times \frac{2}{7}$ को हल करने के लिए, हम $3 \times 2 = 6$ (अंश) और $5 \times 7 = 35$ (हर) करते हैं, जिससे उत्तर $\frac{6}{35}$ आता है।
भिन्नों का विभाजन थोड़ा अलग है। एक भिन्न को दूसरे से विभाजित करने के लिए, हम पहले भिन्न को दूसरे भिन्न के व्युत्क्रम (reciprocal) से गुणा करते हैं। व्युत्क्रम का अर्थ है अंश और हर को आपस में बदलना। उदाहरण के लिए, $\frac{3}{4} \div \frac{5}{6}$ को हल करने के लिए, हम $\frac{5}{6}$ का व्युत्क्रम $\frac{6}{5}$ लेते हैं और फिर गुणा करते हैं: $\frac{3}{4} \times \frac{6}{5} = \frac{18}{20}$। इसे सरलतम रूप में बदलने पर हमें $\frac{9}{10}$ मिलता है। यह नियम विभाजन की प्रक्रिया को गुणा की सरल प्रक्रिया में बदल देता है।
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