अध्याय 13: घातांक और घात (Exponents and Powers)

परिचय

इस अध्याय में हम बड़ी संख्याओं को छोटे रूप में लिखना सीखेंगे। किसी भी संख्या को बार-बार गुणा करने की प्रक्रिया को आसान बनाने के लिए **घातांक (Exponent)** का उपयोग किया जाता है। घातांक हमें बहुत बड़ी या बहुत छोटी संख्याओं को संक्षिप्त और समझने योग्य रूप में लिखने में मदद करते हैं।

उदाहरण के लिए, $10000$ को $10 \times 10 \times 10 \times 10$ के बजाय $10^4$ लिखा जा सकता है। यहाँ, **$10$ आधार (base)** है और **$4$ घातांक (exponent)** या **घात (power)** है।

13.1 घातांक के नियम (Laws of Exponents)

घातांकों का उपयोग करते समय कुछ नियमों का पालन किया जाता है:

1. गुणा का नियम

जब आधार समान हों, तो गुणा करते समय घातांकों को जोड़ दिया जाता है।

$a^m \times a^n = a^{m+n}$

उदाहरण: $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$

2. भाग का नियम

जब आधार समान हों, तो भाग करते समय घातांकों को घटा दिया जाता है।

$a^m \div a^n = a^{m-n}$

उदाहरण: $5^6 \div 5^2 = 5^{6-2} = 5^4$

3. घात की घात का नियम

जब एक घात वाली संख्या की घात हो, तो घातांकों को गुणा किया जाता है।

$(a^m)^n = a^{m \times n}$

उदाहरण: $(3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6$

4. समान घातांक वाले पदों का गुणन

जब घातांक समान हों, तो आधारों को गुणा किया जाता है।

$a^m \times b^m = (a \times b)^m$

उदाहरण: $2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3$

5. शून्य घातांक का नियम

किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात शून्य होने पर उसका मान हमेशा 1 होता है।

$a^0 = 1$

उदाहरण: $7^0 = 1$

13.2 मानक रूप (Standard Form)

बहुत बड़ी संख्याओं को $1.0$ और $10.0$ के बीच की एक दशमलव संख्या और 10 की घात के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जाता है। इसे **मानक रूप** या **वैज्ञानिक संकेतन (Scientific Notation)** कहते हैं।

उदाहरण:

अभ्यास प्रश्न और उत्तर (Practice Questions & Answers)

I. रिक्त स्थान भरें।

  1. $3^5$ में, आधार __________ है और घातांक __________ है।

    आधार 3 है और घातांक 5 है।

  2. $1$ के अलावा किसी भी संख्या की घात शून्य होने पर उसका मान __________ होता है।

    1

  3. $6^3 \times 6^2$ का मान __________ होगा।

    $6^5$

II. प्रत्येक प्रश्न का एक लघु पैराग्राफ में उत्तर दें।

  1. घातांक के गुणा के नियम को एक उदाहरण के साथ समझाइए।

    घातांक का गुणा नियम कहता है कि जब दो घात वाली संख्याओं का आधार समान हो, तो उनके घातांकों को जोड़कर गुणनफल प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $4^2 \times 4^3$ को हल करने के लिए, हम घातांकों को जोड़ देंगे: $2+3=5$, जिससे उत्तर $4^5$ प्राप्त होगा। इसे $4^2 = (4 \times 4)$ और $4^3 = (4 \times 4 \times 4)$ के रूप में भी समझा जा सकता है, जिनका गुणनफल $(4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4) = 4^5$ होता है।

III. प्रत्येक प्रश्न का दो या तीन पैराग्राफ में उत्तर दें।

  • संख्या $3,84,00,00,000$ को मानक रूप में कैसे लिखेंगे और क्यों?

    संख्या $3,84,00,00,000$ एक बहुत बड़ी संख्या है, जिसे पढ़ना और गणना करना मुश्किल हो सकता है। इसे आसान बनाने के लिए हम मानक रूप (scientific notation) का उपयोग करते हैं। मानक रूप में, संख्या को एक दशमलव संख्या (जो 1 से 10 के बीच हो) और 10 की घात के गुणनफल के रूप में लिखा जाता है।

    इस संख्या को मानक रूप में लिखने के लिए, हम दशमलव बिंदु को सबसे बाईं ओर, पहले गैर-शून्य अंक के बाद रखते हैं। हमारी संख्या में, दशमलव बिंदु को 3 के बाद रखा जाएगा। मूल संख्या में दशमलव बिंदु सबसे दाईं ओर था। हमें इसे 9 स्थान बाईं ओर ले जाना होगा। इसलिए, $3,84,00,00,000$ को $3.84 \times 10^9$ के रूप में लिखा जाएगा। यहाँ 10 की घात 9 है, जो दर्शाता है कि मूल संख्या में दशमलव बिंदु को 9 स्थान दाईं ओर ले जाया गया था। यह रूप संख्या को अधिक संक्षिप्त और वैज्ञानिक गणनाओं के लिए उपयुक्त बनाता है।

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