अध्याय 12: बीजीय व्यंजक (Algebraic Expressions)
परिचय
इस अध्याय में हम गणित की एक बहुत ही महत्वपूर्ण शाखा, बीजगणित, का अध्ययन शुरू करेंगे। बीजीय व्यंजक हमें अज्ञात राशियों को अक्षरों (variables) के रूप में दर्शाने और उनका उपयोग करके गणितीय समस्याओं को हल करने में मदद करते हैं। ये व्यंजक अंकगणित के नियमों को विस्तारित करके अधिक जटिल समस्याओं को हल करने की अनुमति देते हैं।
12.1 बीजीय व्यंजक क्या है?
बीजीय व्यंजक संख्याओं और अक्षरों (चरो) के संयोजन से बनते हैं, जिन्हें जोड़ने, घटाने, गुणा करने और भाग देने जैसी गणितीय संक्रियाओं द्वारा जोड़ा जाता है।
- चर (Variables): वे अक्षर जिनके मान स्थिर नहीं होते हैं। इन्हें आमतौर पर x, y, z आदि से दर्शाया जाता है।
- अचर (Constants): वे पद जिनके मान स्थिर होते हैं, जैसे 5, -7, 100।
उदाहरण: $2x + 5$ एक बीजीय व्यंजक है, जहाँ $x$ एक चर है और 2 और 5 अचर हैं।
12.2 व्यंजक के पद, गुणांक और कारक
- पद (Terms): व्यंजक के अलग-अलग भाग जिन्हें योग या घटाव के चिह्नों द्वारा अलग किया जाता है। व्यंजक $4x^2 - 3xy + 7$ में, पद $4x^2$, $-3xy$ और $7$ हैं।
- गुणांक (Coefficients): चर वाले पद में चर के साथ गुणा किया गया संख्यात्मक कारक। व्यंजक $4x^2 - 3xy$ में, $x^2$ का गुणांक 4 है और $xy$ का गुणांक $-3$ है।
- कारक (Factors): पद के घटक, जिन्हें गुणा करके पद बनाया जाता है। पद $4x^2$ के कारक $4, x, x$ हैं।
12.3 एकपदी, द्विपदी और बहुपद
पदों की संख्या के आधार पर बीजीय व्यंजकों को वर्गीकृत किया जाता है:
- एकपदी (Monomial): जिसमें केवल एक पद होता है। जैसे: $5x$, $-7y^2$।
- द्विपदी (Binomial): जिसमें दो पद होते हैं। जैसे: $a+b$, $2x-5$।
- त्रिपदी (Trinomial): जिसमें तीन पद होते हैं। जैसे: $x+y+z$, $p^2 - 3q + 5$।
- बहुपद (Polynomial): एक से अधिक पद वाले व्यंजक को बहुपद कहते हैं। इसमें एकपदी, द्विपदी और त्रिपदी भी शामिल हैं।
12.4 सजातीय और विजातीय पद
सजातीय पद (Like Terms): वे पद जिनमें चर भाग समान होते हैं। जैसे, $7x$ और $-5x$ सजातीय पद हैं।
विजातीय पद (Unlike Terms): वे पद जिनमें चर भाग भिन्न होते हैं। जैसे, $7x$ और $7y$ विजातीय पद हैं।
12.5 बीजीय व्यंजकों का योग और घटाव
बीजीय व्यंजकों को जोड़ते या घटाते समय, हम केवल सजातीय पदों को ही जोड़ या घटा सकते हैं।
उदाहरण: $(3x + 5y) + (2x - 2y)$
$(3x + 2x) + (5y - 2y) = 5x + 3y$
12.6 व्यंजकों का मान ज्ञात करना
किसी व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हमें चर का मान दिया होता है। हम चर के स्थान पर उस मान को प्रतिस्थापित (substitute) करके व्यंजक को हल करते हैं।
उदाहरण: यदि व्यंजक $2x + 5$ है और $x=3$, तो व्यंजक का मान होगा:
$2(3) + 5 = 6 + 5 = 11$
पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर (Questions & Answers)
I. कुछ शब्दों या एक-दो वाक्यों में उत्तर दें।
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बीजीय व्यंजक में 'चर' क्या होता है?
एक अक्षर जिसका मान स्थिर नहीं होता है।
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व्यंजक $3x^2 - 4x + 9$ में पदों की संख्या कितनी है?
इसमें तीन पद हैं: $3x^2$, $-4x$ और $9$।
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$5x$ और $5xy$ सजातीय पद हैं या विजातीय?
ये विजातीय पद हैं क्योंकि इनका चर भाग अलग-अलग है।
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व्यंजक $7x^2y$ का गुणांक क्या है?
गुणांक 7 है।
II. प्रत्येक प्रश्न का एक लघु पैराग्राफ (लगभग 30 शब्द) में उत्तर दें।
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सजातीय और विजातीय पदों में क्या अंतर है? उदाहरणों सहित समझाइए।
सजातीय पद वे होते हैं जिनका चर भाग समान होता है (जैसे $3x$ और $-8x$)। विजातीय पद वे होते हैं जिनका चर भाग भिन्न होता है (जैसे $3x$ और $5y$)। बीजीय संक्रियाओं में, केवल सजातीय पदों को ही जोड़ा या घटाया जा सकता है।
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एकपदी, द्विपदी और त्रिपदी में क्या अंतर है?
एकपदी में एक पद होता है, जैसे $5x$। द्विपदी में दो पद होते हैं, जैसे $x+y$। त्रिपदी में तीन पद होते हैं, जैसे $a^2+b+c$। ये सभी बहुपद के ही प्रकार हैं।
III. प्रत्येक प्रश्न का दो या तीन पैराग्राफ (100–150 शब्द) में उत्तर दें।
बीजीय व्यंजकों का योग और घटाव करते समय सबसे महत्वपूर्ण नियम यह है कि हम केवल **सजातीय पदों** को ही आपस में जोड़ या घटा सकते हैं। सजातीय पद वे होते हैं जिनका चर भाग बिल्कुल समान होता है। योग करते समय, हम एक ही प्रकार के पदों को एक साथ समूहबद्ध करते हैं और उनके गुणांकों को जोड़ते हैं। उदाहरण के लिए, व्यंजक $(5x + 3y) + (2x - 4y)$ को हल करने के लिए, हम पहले सजातीय पदों को एक साथ लाते हैं: $(5x + 2x)$ और $(3y - 4y)$। फिर उनके गुणांकों को जोड़ते हैं, जिससे हमें $(5+2)x + (3-4)y = 7x - 1y$ या $7x-y$ मिलता है।
घटाव की प्रक्रिया भी समान है, लेकिन इसमें दूसरे व्यंजक के सभी पदों के चिह्न बदल जाते हैं। उदाहरण के लिए, $(5x + 3y) - (2x - 4y)$ को हल करने के लिए, हम इसे $(5x + 3y) + (-2x + 4y)$ के रूप में लिखते हैं। फिर सजातीय पदों को एक साथ रखते हैं: $(5x - 2x) + (3y + 4y)$। अब गुणांकों को जोड़ते हैं, जिससे हमें $(5-2)x + (3+4)y = 3x + 7y$ प्राप्त होता है। इस प्रकार, सजातीय पदों को पहचानना और उनके गुणांकों पर संक्रियाएँ करना योग और घटाव का आधार है।
किसी बीजीय व्यंजक का मान ज्ञात करने का अर्थ है कि व्यंजक में दिए गए चरों के स्थान पर उनके संख्यात्मक मानों को रखना और फिर उस व्यंजक को अंकगणितीय नियमों के अनुसार हल करना। यह प्रक्रिया बहुत सरल होती है। हमें बस चर के मान को सावधानीपूर्वक व्यंजक में प्रतिस्थापित करना होता है और फिर दिए गए संक्रियाओं (जोड़, घटाव, गुणा, आदि) का पालन करना होता है।
दिए गए उदाहरण, $3x^2 + 2x - 1$ में, हमें $x$ का मान 2 दिया गया है। हम $x$ के स्थान पर 2 रखते हैं:
$3(2)^2 + 2(2) - 1$
अब हम इसे BODMAS या PEMDAS जैसे क्रम का पालन करते हुए हल करते हैं।
- सबसे पहले घातांक को हल करें: $(2)^2 = 4$
- अब गुणा करें: $3(4) = 12$ और $2(2) = 4$
- व्यंजक अब $12 + 4 - 1$ बन जाता है।
- अंत में, जोड़ और घटाव करें: $16 - 1 = 15$
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