अध्याय 11: परिमाप और क्षेत्रफल (Perimeter and Area)

परिचय

इस अध्याय में हम गणित के दो महत्वपूर्ण पहलुओं, **परिमाप (Perimeter)** और **क्षेत्रफल (Area)** के बारे में विस्तार से जानेंगे। ये अवधारणाएँ हमारे दैनिक जीवन में बहुत उपयोगी हैं, जैसे किसी खेत की बाड़ लगाने के लिए उसकी लंबाई का पता लगाना (परिमाप) या किसी दीवार को पेंट करने के लिए उसके सतह के माप का पता लगाना (क्षेत्रफल)।

11.1 परिमाप क्या है?

किसी भी बंद आकृति की सभी भुजाओं की कुल लंबाई को **परिमाप** कहते हैं। यह किसी आकृति की बाहरी सीमा (boundary) की माप होती है। परिमाप को सेंटीमीटर (cm), मीटर (m), किलोमीटर (km) जैसी इकाइयों में मापा जाता है।

• आयत का परिमाप: एक आयत में दो लम्बाई और दो चौड़ाई होती हैं। अतः, परिमाप का सूत्र है: $$2 \times (\text{लम्बाई} + \text{चौड़ाई})$$
• वर्ग का परिमाप: एक वर्ग की सभी चारों भुजाएँ बराबर होती हैं। अतः, परिमाप का सूत्र है: $$4 \times \text{भुजा}$$

11.2 क्षेत्रफल क्या है?

किसी भी बंद आकृति द्वारा घेरे गए सतह के माप को **क्षेत्रफल** कहते हैं। यह किसी आकृति के भीतर के स्थान को दर्शाता है। क्षेत्रफल को वर्ग सेंटीमीटर (cm²), वर्ग मीटर (m²), वर्ग किलोमीटर (km²) जैसी इकाइयों में मापा जाता है।

• आयत का क्षेत्रफल: क्षेत्रफल का सूत्र है: $$\text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई}$$
• वर्ग का क्षेत्रफल: क्षेत्रफल का सूत्र है: $$\text{भुजा} \times \text{भुजा}$$

यहां एक आयत की लम्बाई और चौड़ाई दिखाई गई है:

11.3 अन्य आकृतियों का परिमाप और क्षेत्रफल

कक्षा 7 में कुछ अन्य आकृतियों के क्षेत्रफल के बारे में भी बताया गया है:

• त्रिभुज का क्षेत्रफल: $$ \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} $$
• समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल: $$\text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$$
• वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल: वृत्त के परिमाप को **परिधि** कहते हैं।
  • परिधि का सूत्र: $2\pi r$
  • क्षेत्रफल का सूत्र: $\pi r^2$
  • यहाँ $\pi$ (पाई) का मान लगभग $\frac{22}{7}$ या $3.14$ होता है।