अध्याय 10: प्रायोगिक ज्यामिति (Practical Geometry)

परिचय

**प्रायोगिक ज्यामिति** गणित की वह शाखा है जिसमें हम ज्यामितीय आकृतियों की रचना करते हैं। इस अध्याय में, हम पैमाना (रूलर), परकार, चाँदा और गुनिया जैसे उपकरणों का उपयोग करके विभिन्न प्रकार की रेखाओं और त्रिभुजों की रचना करना सीखेंगे। यह हमें ज्यामितीय सिद्धांतों को व्यवहार में लाने में मदद करता है।

10.1 रेखाओं की रचना

प्रायोगिक ज्यामिति का एक महत्वपूर्ण कार्य एक दी गई रेखा के समांतर एक रेखा की रचना करना है।

किसी दी गई रेखा के समांतर एक रेखा की रचना करना:

  1. एक रेखा $l$ खींचें और इसके बाहर एक बिंदु $P$ लें।
  2. रेखा $l$ पर एक बिंदु $Q$ चुनें और $P$ को $Q$ से मिलाएँ।
  3. बिंदु $Q$ को केंद्र मानकर और किसी भी त्रिज्या से एक चाप (arc) लगाएँ जो $l$ को $A$ पर और $PQ$ को $B$ पर काटे।
  4. अब बिंदु $P$ को केंद्र मानकर और उसी त्रिज्या से एक चाप लगाएँ जो $PQ$ को $C$ पर काटे।
  5. परकार की मदद से $AB$ की लंबाई मापें।
  6. $C$ को केंद्र मानकर और उसी लंबाई से एक चाप लगाएँ जो पहले वाले चाप को $D$ पर काटे।
  7. अब $P$ और $D$ को मिलाते हुए एक रेखा $m$ खींचें। रेखा $m$ रेखा $l$ के समांतर होगी।

10.2 त्रिभुजों की रचना

किसी भी त्रिभुज की रचना करने के लिए, हमें उसके छह भागों (तीन भुजाएँ और तीन कोण) में से कम से कम **तीन माप** की आवश्यकता होती है, बशर्ते कि वे एक निश्चित स्थिति में हों।

1. SSS (भुजा-भुजा-भुजा) प्रतिबंध से त्रिभुज की रचना

जब त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई दी गई हो।

रचना के चरण:

  1. दी गई लंबाई में से किसी एक भुजा को आधार के रूप में खींचें।
  2. परकार में अन्य दो भुजाओं की लंबाई लेकर, उनके सिरों से दो चाप लगाएँ जो एक-दूसरे को काटें।
  3. इन चापों के प्रतिच्छेदन बिंदु को आधार के सिरों से मिलाएँ।

2. SAS (भुजा-कोण-भुजा) प्रतिबंध से त्रिभुज की रचना

जब दो भुजाओं और उनके बीच का कोण (अंतर्गत कोण) दिया गया हो।

रचना के चरण:

  1. दी गई दो भुजाओं में से एक को आधार के रूप में खींचें।
  2. एक सिरे पर दिए गए अंतर्गत कोण के बराबर कोण बनाएँ।
  3. कोण बनाने वाली किरण पर दूसरी दी गई भुजा की लंबाई काटें।
  4. दोनों सिरों को मिलाकर त्रिभुज पूरा करें।

3. ASA (कोण-भुजा-कोण) प्रतिबंध से त्रिभुज की रचना

जब दो कोण और उनके बीच की भुजा (अंतर्गत भुजा) दी गई हो।

रचना के चरण:

  1. दी गई भुजा को आधार के रूप में खींचें।
  2. आधार के दोनों सिरों पर दिए गए कोणों के बराबर कोण बनाएँ।
  3. दोनों कोणों की किरणें जहाँ एक-दूसरे को काटेंगी, वह त्रिभुज का तीसरा शीर्ष होगा।

4. RHS (समकोण-कर्ण-भुजा) प्रतिबंध से समकोण त्रिभुज की रचना

जब एक समकोण त्रिभुज का कर्ण और एक भुजा दी गई हो।

रचना के चरण:

  1. दी गई भुजा को आधार के रूप में खींचें।
  2. आधार के एक सिरे पर $90^\circ$ का कोण बनाएँ।
  3. दूसरे सिरे से कर्ण की लंबाई के बराबर एक चाप लगाएँ जो $90^\circ$ के कोण वाली किरण को काटे।
  4. दोनों सिरों को मिलाकर त्रिभुज पूरा करें।

अभ्यास प्रश्न और उत्तर (Practice Questions & Answers)

I. रिक्त स्थान भरें।

  1. त्रिभुज की रचना करने के लिए कम से कम __________ माप आवश्यक होते हैं।

    तीन (3)

  2. SAS प्रतिबंध में 'A' का अर्थ दो भुजाओं के बीच का __________ होता है।

    अंतर्गत कोण (included angle)

  3. समकोण त्रिभुज की रचना के लिए __________ नियम का उपयोग किया जाता है।

    RHS (समकोण-कर्ण-भुजा)

II. प्रत्येक प्रश्न का एक लघु पैराग्राफ में उत्तर दें।

  1. क्या किसी भी तीन भुजाओं की लंबाई से त्रिभुज की रचना संभव है? स्पष्ट करें।

    नहीं, किसी भी तीन भुजाओं से त्रिभुज की रचना संभव नहीं है। त्रिभुज की रचना के लिए यह आवश्यक है कि किन्हीं भी दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक हो। यदि यह शर्त पूरी नहीं होती, तो भुजाएँ एक-दूसरे को नहीं काटेंगी और त्रिभुज नहीं बनेगा।

III. प्रत्येक प्रश्न का दो या तीन पैराग्राफ में उत्तर दें।

  • एक त्रिभुज $ABC$ की रचना के चरण लिखिए, यदि $AB = 5$ सेमी, $BC = 6$ सेमी और $\angle B = 60^\circ$ दिया गया हो।

    इस प्रश्न में, हमें SAS (भुजा-कोण-भुजा) प्रतिबंध का उपयोग करके त्रिभुज की रचना करनी होगी। इसके चरण इस प्रकार हैं:

    **चरण 1:** सबसे पहले, एक पैमाना (रूलर) का उपयोग करके $BC = 6$ सेमी लंबाई का एक रेखाखंड खींचें। यह त्रिभुज का आधार होगा।

    **चरण 2:** अब, बिंदु $B$ पर एक चाँदे (protractor) की मदद से $60^\circ$ का कोण बनाएँ। इस कोण की भुजा को एक किरण (ray) $BX$ के रूप में खींचें।

    **चरण 3:** परकार (compass) में $5$ सेमी की त्रिज्या लें। बिंदु $B$ को केंद्र मानकर, किरण $BX$ पर एक चाप लगाएँ जो इसे बिंदु $A$ पर काटे। इस प्रकार, $AB$ की लंबाई $5$ सेमी हो जाएगी।

    **चरण 4:** अंत में, बिंदु $A$ और $C$ को एक रेखाखंड से मिला दें। इस तरह, $\triangle ABC$ की रचना पूरी हो जाएगी, जिसमें दी गई सभी शर्तें पूरी होती हैं।

    • (ब्राउज़र के प्रिंट-टू-पीडीएफ फ़ंक्शन का उपयोग करता है। दिखावट भिन्न हो सकती है।)