अध्याय 1: पूर्णांक (Integers)
परिचय
इस अध्याय में, हम पूर्णांकों (Integers) के बारे में विस्तार से जानेंगे। आपने पिछली कक्षा में पूर्ण संख्याओं के बारे में पढ़ा है। अब हम संख्याओं के समूह को आगे बढ़ाते हुए ऋणात्मक संख्याओं को भी शामिल करेंगे। पूर्णांक हमें तापमान, समुद्र तल से ऊँचाई या नीचे की गहराई जैसी स्थितियों को दर्शाने में मदद करते हैं।
1.1 पूर्णांक क्या हैं?
पूर्णांक सभी धनात्मक संख्याएँ, सभी ऋणात्मक संख्याएँ और शून्य के संग्रह को कहते हैं।
पूर्णांकों को संख्या रेखा पर दिखाया जाता है। शून्य (0) केंद्र में होता है। धनात्मक पूर्णांक $(1, 2, 3, \ldots)$ शून्य के दाईं ओर होते हैं, और ऋणात्मक पूर्णांक $(\ldots, -3, -2, -1)$ शून्य के बाईं ओर होते हैं। जैसे-जैसे हम दाईं ओर बढ़ते हैं, संख्या का मान बढ़ता जाता है, और बाईं ओर बढ़ने पर घटता जाता है।
1.2 पूर्णांकों का योग और घटाव
जोड़ के नियम:
- समान चिह्न वाले पूर्णांकों को जोड़ते हैं और वही चिह्न लगाते हैं। जैसे: $5 + 3 = 8$ और $(-5) + (-3) = -8$।
- विपरीत चिह्न वाले पूर्णांकों को घटाते हैं और बड़ी संख्या का चिह्न लगाते हैं। जैसे: $5 + (-3) = 2$ और $(-5) + 3 = -2$।
घटाव के नियम:
- पूर्णांकों को घटाने के लिए, हम दूसरी संख्या का योज्य प्रतिलोम (additive inverse) जोड़ते हैं। जैसे: $5 - (-3)$ को $5 + 3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
- $5 - (-3) = 8$ और $(-5) - 3 = (-5) + (-3) = -8$।
1.3 पूर्णांकों का गुणन और विभाजन
गुणा के नियम:
- समान चिह्न वाले दो पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा धनात्मक होता है। जैसे: $4 \times 5 = 20$ और $(-4) \times (-5) = 20$।
- विपरीत चिह्न वाले दो पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा ऋणात्मक होता है। जैसे: $4 \times (-5) = -20$ और $(-4) \times 5 = -20$।
विभाजन के नियम:
- गुणन के समान ही, समान चिह्न वाले पूर्णांकों का भागफल धनात्मक होता है। जैसे: $20 \div 4 = 5$ और $(-20) \div (-4) = 5$।
- विपरीत चिह्न वाले पूर्णांकों का भागफल ऋणात्मक होता है। जैसे: $20 \div (-4) = -5$ और $(-20) \div 4 = -5$।
किसी भी पूर्णांक को शून्य (0) से विभाजित नहीं किया जा सकता है।
1.4 पूर्णांकों के गुणधर्म
पूर्णांकों में कई महत्वपूर्ण गुणधर्म होते हैं, जैसे:
- संवृत्त गुणधर्म: योग और गुणा के लिए, दो पूर्णांकों को जोड़ने या गुणा करने पर हमेशा एक पूर्णांक ही मिलता है।
- क्रमविनिमेय गुणधर्म: योग और गुणा के लिए, संख्याओं का क्रम बदलने से परिणाम नहीं बदलता। $(a+b = b+a)$
- साहचर्य गुणधर्म: योग और गुणा के लिए, तीन या अधिक पूर्णांकों को जोड़ने या गुणा करने में समूहीकरण (grouping) बदलने से परिणाम नहीं बदलता। $((a+b)+c = a+(b+c))$
- योज्य तत्समक (Additive Identity): किसी भी पूर्णांक में 0 जोड़ने पर वही पूर्णांक प्राप्त होता है। ($a+0=a$)
- गुणात्मक तत्समक (Multiplicative Identity): किसी भी पूर्णांक को 1 से गुणा करने पर वही पूर्णांक प्राप्त होता है। ($a \times 1 = a$)
पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर (Questions & Answers)
I. कुछ शब्दों या एक-दो वाक्यों में उत्तर दें।
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सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक क्या है?
सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $1$ है।
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$(-5)$ का योज्य प्रतिलोम क्या है?
$(-5)$ का योज्य प्रतिलोम $5$ है।
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दो ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल कैसा होता है?
दो ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा धनात्मक होता है।
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किसी भी पूर्णांक को 1 से गुणा करने पर क्या मिलता है?
किसी भी पूर्णांक को 1 से गुणा करने पर वही पूर्णांक प्राप्त होता है।
II. प्रत्येक प्रश्न का एक लघु पैराग्राफ (लगभग 30 शब्द) में उत्तर दें।
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संख्या रेखा का उपयोग करके $(-3) + 7$ को कैसे हल करेंगे?
संख्या रेखा पर पहले $-3$ पर खड़े हों। चूँकि हम 7 जोड़ रहे हैं, जो एक धनात्मक संख्या है, हम 7 कदम दाईं ओर चलेंगे। ऐसा करने पर हम 4 पर पहुँचेंगे, इसलिए $(-3) + 7 = 4$।
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पूर्णांकों के घटाव का नियम उदाहरण के साथ समझाइए।
पूर्णांकों को घटाने के लिए, हम घटाए जाने वाले पूर्णांक का योज्य प्रतिलोम (चिह्न बदलकर) जोड़ते हैं। उदाहरण के लिए, $(-8) - (-3)$ को $(-8) + 3$ के रूप में हल किया जा सकता है, जिसका उत्तर $-5$ होगा।
III. प्रत्येक प्रश्न का दो या तीन पैराग्राफ (100–150 शब्द) में उत्तर दें।
पूर्णांकों के योग और घटाव में कई गुणधर्म होते हैं। सबसे पहले, योग के लिए संवृत्त गुणधर्म लागू होता है, जिसका अर्थ है कि दो पूर्णांकों को जोड़ने पर परिणाम हमेशा एक पूर्णांक ही होगा। जैसे, $5 + (-12) = -7$, जो कि एक पूर्णांक है। इसी तरह, क्रमविनिमेय गुणधर्म बताता है कि दो पूर्णांकों के योग का क्रम बदलने से परिणाम पर कोई फर्क नहीं पड़ता। उदाहरण के लिए, $(-3) + 8 = 5$ और $8 + (-3) = 5$।
योग का एक और महत्वपूर्ण गुणधर्म साहचर्य गुणधर्म है। यह बताता है कि तीन पूर्णांकों को जोड़ते समय उनके समूहीकरण को बदलने से योग पर कोई फर्क नहीं पड़ता। जैसे, $(2 + (-4)) + 6 = 2 + ((-4) + 6)$। दोनों ही मामलों में उत्तर 4 आएगा। इसके अलावा, योज्य तत्समक 0 है, क्योंकि किसी भी पूर्णांक में 0 जोड़ने पर वही पूर्णांक प्राप्त होता है। घटाव के लिए ये सभी गुणधर्म लागू नहीं होते हैं।
पूर्णांकों का गुणा करते समय चिह्नों का ध्यान रखना बहुत महत्वपूर्ण है। यदि आप दो पूर्णांकों को गुणा कर रहे हैं और उनके चिह्न समान हैं (या तो दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक), तो परिणाम हमेशा धनात्मक होगा। उदाहरण के लिए, $7 \times 8 = 56$ और $(-7) \times (-8) = 56$। इस नियम को याद रखना आसान है क्योंकि "माइनस" गुणा "माइनस" "प्लस" होता है।
इसके विपरीत, यदि आप दो पूर्णांकों को गुणा कर रहे हैं और उनके चिह्न विपरीत हैं (एक धनात्मक और एक ऋणात्मक), तो परिणाम हमेशा ऋणात्मक होगा। उदाहरण के लिए, $7 \times (-8) = -56$ और $(-7) \times 8 = -56$। यह नियम बताता है कि जब विपरीत चिह्न वाले पूर्णांकों को गुणा किया जाता है, तो परिणाम ऋणात्मक हो जाता है। यह भी याद रखना ज़रूरी है कि किसी भी पूर्णांक को शून्य से गुणा करने पर परिणाम हमेशा शून्य ही आता है।
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