अध्याय 8: दशमलव (Decimals)

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर (Questions & Answers)

I. कुछ शब्दों या एक-दो वाक्यों में उत्तर दें।

1. दशमलव क्या होते हैं?

   दशमलव वे संख्याएँ होती हैं जो पूर्ण संख्या भाग और भिन्नात्मक भाग को दर्शाने के लिए दशमलव बिंदु का उपयोग करती हैं।

2. दशमलव संख्या में दशमलव बिंदु के बाईं ओर का भाग क्या कहलाता है?

   दशमलव संख्या में दशमलव बिंदु के बाईं ओर का भाग पूर्ण संख्या भाग (Whole Number Part) कहलाता है।

3. दशमलव संख्या में दशमलव बिंदु के दाईं ओर का पहला अंक कौन सा स्थान दर्शाता है?

   दशमलव बिंदु के दाईं ओर का पहला अंक 'दशांश' (Tenths) स्थान दर्शाता है।

4. 0.75 को भिन्न के रूप में व्यक्त करें।

   0.75 को भिन्न के रूप में $75/100$ या सरलीकृत रूप में $3/4$ लिखा जा सकता है।

5. 35 पैसे को रुपये में दशमलव का उपयोग करके लिखें।

   35 पैसे को रुपये में दशमलव का उपयोग करके ₹0.35 लिखा जाता है।

II. प्रत्येक प्रश्न का एक लघु पैराग्राफ (लगभग 30 शब्द) में उत्तर दें।

1. दशमलव संख्याओं की तुलना कैसे की जाती है? एक उदाहरण दें।

   दशमलव संख्याओं की तुलना करने के लिए, पहले पूर्ण संख्या भाग की तुलना करते हैं। यदि वे समान हैं, तो दशांश स्थान की तुलना करते हैं, फिर शतांश स्थान की, और इसी तरह आगे बढ़ते हैं। उदाहरण के लिए, 2.35 और 2.4 की तुलना में, पूर्ण संख्या भाग (2) समान है। दशांश स्थान पर, 4 > 3, इसलिए 2.4 > 2.35।

2. दशमलव संख्याओं को संख्या रेखा पर कैसे दर्शाया जाता है?

   दशमलव संख्याओं को संख्या रेखा पर दो पूर्ण संख्याओं के बीच की दूरी को बराबर भागों में विभाजित करके दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, 2.5 को दर्शाने के लिए, 2 और 3 के बीच की दूरी को 10 बराबर भागों में बांटते हैं, और 2 से पांचवें निशान पर 2.5 होगा।

3. मीटर और सेंटीमीटर को दशमलव का उपयोग करके कैसे परिवर्तित किया जाता है?

   मीटर और सेंटीमीटर को दशमलव का उपयोग करके परिवर्तित करने के लिए, यह याद रखना आवश्यक है कि 1 मीटर = 100 सेंटीमीटर। इसलिए, सेंटीमीटर को मीटर में बदलने के लिए, सेंटीमीटर की संख्या को 100 से भाग देते हैं और दशमलव बिंदु लगाते हैं। जैसे, 75 सेंटीमीटर = 0.75 मीटर।

III. प्रत्येक प्रश्न का दो या तीन पैराग्राफ (100–150 शब्द) में उत्तर दें।

1. दशमलव संख्याओं के योग और व्यवकलन (घटाव) की प्रक्रिया को उदाहरण सहित समझाएँ।

   दशमलव संख्याओं को जोड़ने या घटाने के लिए सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि सभी संख्याओं में दशमलव बिंदु को एक सीधी रेखा में संरेखित किया जाए। यदि संख्याओं में दशमलव स्थानों की संख्या अलग-अलग है, तो हम आवश्यक रूप से शून्य जोड़कर उन्हें समान बना सकते हैं, ताकि गणना आसान हो। योग करते समय, सामान्य जोड़ की तरह संख्याओं को जोड़ते हैं, और परिणाम में दशमलव बिंदु को उसी संरेखण में रखते हैं। उदाहरण के लिए, 3.45 और 1.2 को जोड़ने के लिए, हम 1.2 को 1.20 के रूप में लिख सकते हैं:

     3.45
   + 1.20
   ------
     4.65

   व्यवकलन (घटाव) की प्रक्रिया भी समान है। दशमलव बिंदु को संरेखित करने के बाद, यदि आवश्यक हो तो शून्य जोड़ते हैं। फिर, सामान्य घटाव की तरह संख्याओं को घटाते हैं, और परिणाम में दशमलव बिंदु को उसी संरेखण में रखते हैं। उदाहरण के लिए, 5.75 से 2.3 घटाने के लिए:

     5.75
   - 2.30
   ------
     3.45

   यह विधि सुनिश्चित करती है कि समान स्थान मान वाले अंकों को सही ढंग से जोड़ा या घटाया जा सके, जिससे सटीक परिणाम प्राप्त हों।

2. आप भिन्नों को दशमलव में और दशमलव को भिन्नों में कैसे परिवर्तित करेंगे? उपयुक्त उदाहरणों के साथ प्रक्रिया समझाएँ।

   भिन्नों को दशमलव में बदलने के लिए, हमें अंश को हर से भाग देना होता है। यदि हर 10, 100, 1000 आदि है, तो दशमलव बिंदु को अंश में हर में शून्यों की संख्या के बराबर बाईं ओर खिसका देते हैं। उदाहरण के लिए, $3/10 = 0.3$, $25/100 = 0.25$। यदि हर 10 की घात नहीं है, तो हमें भाग प्रक्रिया करनी होती है। जैसे, $1/4$ को दशमलव में बदलने के लिए, 1 को 4 से भाग देते हैं, जिससे $0.25$ प्राप्त होता है। कुछ भिन्नों के लिए, दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती (non-terminating repeating) भी हो सकता है, जैसे $1/3 = 0.333...$।

   दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए, हम दशमलव संख्या को एक अंश के रूप में लिखते हैं जहाँ अंश दशमलव संख्या (बिना दशमलव बिंदु के) होती है और हर 10 की घात होती है जो दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या पर निर्भर करती है। यदि दशमलव बिंदु के बाद एक अंक है, तो हर 10 होगा; यदि दो अंक हैं, तो हर 100 होगा, और इसी तरह। अंत में, भिन्न को उसके सरलतम रूप में घटाते हैं। उदाहरण के लिए, $0.6$ को भिन्न में बदलने के लिए, इसे $6/10$ के रूप में लिखते हैं, जिसे सरल करने पर $3/5$ प्राप्त होता है। $1.25$ को $125/100$ के रूप में लिखते हैं, जिसे सरल करने पर $5/4$ या $1 \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है। यह रूपांतरण हमें विभिन्न गणितीय संक्रियाओं के लिए संख्याओं के सुविधाजनक रूप का उपयोग करने में मदद करता है।