अध्याय 7: भिन्न (Fractions)

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर (Questions & Answers)

I. कुछ शब्दों या एक-दो वाक्यों में उत्तर दें।

  1. भिन्न क्या होती है?

    भिन्न एक संख्या है जो एक पूर्ण वस्तु के भाग को दर्शाती है। इसे $\frac{\text{अंश}}{\text{हर}}$ (numerator/denominator) के रूप में लिखा जाता है।

  2. अंश (Numerator) और हर (Denominator) क्या होते हैं?

    **अंश** वह संख्या है जो यह बताती है कि किसी पूर्ण के कितने बराबर भाग लिए गए हैं। **हर** वह संख्या है जो यह बताती है कि पूर्ण को कितने बराबर भागों में बांटा गया है।

  3. उचित भिन्न (Proper Fraction) का एक उदाहरण दें।

    उचित भिन्न वह होती है जिसका अंश हर से छोटा होता है। उदाहरण: $\frac{3}{4}$।

  4. विषम भिन्न (Improper Fraction) का एक उदाहरण दें।

    विषम भिन्न वह होती है जिसका अंश हर के बराबर या उससे बड़ा होता है। उदाहरण: $\frac{7}{5}$।

  5. मिश्रित भिन्न (Mixed Fraction) को कैसे लिखते हैं?

    मिश्रित भिन्न एक पूर्ण संख्या और एक उचित भिन्न का संयोजन होती है। उदाहरण: $2\frac{1}{2}$।

II. प्रत्येक प्रश्न का एक लघु पैराग्राफ (लगभग 30 शब्द) में उत्तर दें।

  1. तुल्य भिन्न (Equivalent Fractions) क्या होती हैं? एक उदाहरण दें।

    तुल्य भिन्न वे भिन्न होती हैं जो अलग दिखते हुए भी समान मान दर्शाती हैं। इन्हें अंश और हर को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या भाग करके प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, $\frac{1}{2}$ और $\frac{2}{4}$ तुल्य भिन्न हैं।

  2. सजातीय भिन्न (Like Fractions) और विजातीय भिन्न (Unlike Fractions) में क्या अंतर है?

    **सजातीय भिन्न** वे भिन्न होती हैं जिनके हर समान होते हैं (जैसे $\frac{1}{5}, \frac{3}{5}$)। **विजातीय भिन्न** वे भिन्न होती हैं जिनके हर भिन्न होते हैं (जैसे $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}$)। हरों की समानता या भिन्नता ही इनमें मुख्य अंतर है।

  3. भिन्न को सरलतम रूप (Simplest Form) में कैसे परिवर्तित करते हैं?

    भिन्न को सरलतम रूप में परिवर्तित करने के लिए, हम अंश और हर को उनके सबसे बड़े सामान्य गुणनखंड (HCF) से भाग देते हैं। जब अंश और हर में 1 के अलावा कोई सामान्य गुणनखंड न हो, तो भिन्न सरलतम रूप में होती है। उदाहरण: $\frac{4}{8}$ का सरलतम रूप $\frac{1}{2}$ है।

III. प्रत्येक प्रश्न का दो या तीन पैराग्राफ (100–150 शब्द) में उत्तर दें।

  1. भिन्न के विभिन्न प्रकारों को उदाहरण सहित स्पष्ट करें।

    भिन्नें मुख्य रूप से तीन प्रकार की होती हैं: **उचित भिन्न**, **विषम भिन्न** और **मिश्रित भिन्न**। **उचित भिन्न** (Proper Fraction) वह होती है जहाँ अंश हर से छोटा होता है। ये भिन्नें हमेशा 1 से कम मान दर्शाती हैं और एक पूर्ण वस्तु के हिस्से को व्यक्त करती हैं। उदाहरण के लिए, $\frac{2}{3}$ का अर्थ है कि एक वस्तु के तीन बराबर भागों में से दो भाग लिए गए हैं। ये भिन्नें अक्सर वस्तुओं के विभाजन या अनुपात को दर्शाने के लिए उपयोग होती हैं।

    **विषम भिन्न** (Improper Fraction) वह होती है जहाँ अंश हर के बराबर या उससे बड़ा होता है। ये भिन्नें 1 या 1 से अधिक मान दर्शाती हैं। उदाहरण के लिए, $\frac{5}{4}$ का अर्थ है कि एक पूरी वस्तु (4/4) और एक अतिरिक्त भाग (1/4) लिया गया है। विषम भिन्नों को अक्सर **मिश्रित भिन्न** (Mixed Fraction) में बदला जा सकता है, जो एक पूर्ण संख्या और एक उचित भिन्न का संयोजन होती है। जैसे, $\frac{5}{4}$ को $1\frac{1}{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ 1 एक पूर्ण संख्या है और $\frac{1}{4}$ एक उचित भिन्न है। मिश्रित भिन्नें उन स्थितियों में उपयोगी होती हैं जहाँ हम पूरे और उसके भाग दोनों को एक साथ व्यक्त करना चाहते हैं, जैसे $3\frac{1}{2}$ कप चीनी।

  2. भिन्न के जोड़ और घटाव के नियमों को उदाहरणों के साथ समझाएँ, खासकर जब हर अलग-अलग हों।

    भिन्नों को जोड़ने या घटाने के लिए, सबसे महत्वपूर्ण नियम यह है कि उनके **हर समान** होने चाहिए। यदि भिन्नें **सजातीय** (like fractions) हैं, यानी उनके हर पहले से ही समान हैं, तो हम केवल अंशों को जोड़ या घटा देते हैं और हर को वैसे ही रखते हैं। उदाहरण के लिए, $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2+1}{5} = \frac{3}{5}$। यह प्रक्रिया सीधी है क्योंकि सभी भाग समान आकार के होते हैं।

    यदि भिन्नें **विजातीय** (unlike fractions) हैं, यानी उनके हर अलग-अलग हैं, तो हमें उन्हें पहले **तुल्य भिन्नों** में बदलना होता है जिनके हर समान हों। इसके लिए हम हरों का **लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)** ज्ञात करते हैं, जो नया सामान्य हर बनता है। फिर, प्रत्येक भिन्न के अंश और हर को ऐसी संख्या से गुणा करते हैं ताकि हर LCM के बराबर हो जाए। एक बार जब हर समान हो जाते हैं, तो हम अंशों को सामान्य सजातीय भिन्नों की तरह जोड़ या घटा सकते हैं। उदाहरण के लिए, $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ को जोड़ने के लिए, 2 और 3 का LCM 6 है। तो, $\frac{1}{2}$ को $\frac{3}{6}$ और $\frac{1}{3}$ को $\frac{2}{6}$ में बदलते हैं। अब, $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$। यही प्रक्रिया घटाव के लिए भी लागू होती है।

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