अध्याय 6: पूर्णांक (Integers) - प्रश्नोत्तर

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर (Questions & Answers)

I. कुछ शब्दों या एक-दो वाक्यों में उत्तर दें।

  1. पूर्णांक क्या होते हैं?

    पूर्णांक वे संख्याएँ होती हैं जिनमें सभी पूर्ण संख्याएँ (0, 1, 2, 3...) और ऋणात्मक संख्याएँ (-1, -2, -3...) शामिल होती हैं।

  2. संख्या रेखा पर धनात्मक पूर्णांक किस दिशा में होते हैं?

    संख्या रेखा पर धनात्मक पूर्णांक शून्य (0) के दाईं ओर होते हैं।

  3. -5 और 5 के बीच के सभी पूर्णांक लिखें।

    -5 और 5 के बीच के पूर्णांक हैं: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4।

  4. सबसे बड़ा ऋणात्मक पूर्णांक कौन सा है?

    सबसे बड़ा ऋणात्मक पूर्णांक -1 है।

  5. किसी पूर्णांक का निरपेक्ष मान (absolute value) क्या होता है?

    किसी पूर्णांक का निरपेक्ष मान शून्य से उसकी दूरी होती है, भले ही वह धनात्मक हो या ऋणात्मक। इसे $|\cdot|$ चिन्ह से दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, $|-7| = 7$ और $|7| = 7$।

II. प्रत्येक प्रश्न का एक लघु पैराग्राफ (लगभग 30 शब्द) में उत्तर दें।

  1. पूर्णांकों का उपयोग दैनिक जीवन में कहाँ किया जाता है? कोई दो उदाहरण दें।

    पूर्णांकों का उपयोग दैनिक जीवन में कई स्थितियों में किया जाता है जहाँ हमें धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मानों को दर्शाने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, तापमान को मापने के लिए (0°C से ऊपर या नीचे), बैंक खातों में पैसे के जमा (धनात्मक) और निकासी (ऋणात्मक) को दर्शाने के लिए, या समुद्र तल से ऊंचाई/गहराई को बताने के लिए।

  2. संख्या रेखा का उपयोग करके पूर्णांकों को कैसे जोड़ा जाता है? एक उदाहरण से समझाएँ।

    संख्या रेखा पर पूर्णांकों को जोड़ने के लिए, हम पहले पूर्णांक पर शुरू करते हैं। यदि हम एक धनात्मक पूर्णांक जोड़ रहे हैं, तो दाईं ओर चलते हैं। यदि हम एक ऋणात्मक पूर्णांक जोड़ रहे हैं, तो बाईं ओर चलते हैं। उदाहरण के लिए, 3 + (-5) करने के लिए, हम 3 पर शुरू करते हैं और 5 कदम बाईं ओर चलते हैं, तो हम -2 पर पहुँचते हैं।

  3. पूर्णांकों को घटाने के लिए 'जोड़ने के व्युत्क्रम' विधि का क्या अर्थ है?

    पूर्णांकों को घटाने के लिए 'जोड़ने के व्युत्क्रम' विधि का अर्थ है कि एक पूर्णांक को घटाने के बजाय, हम उसके योज्य प्रतिलोम (additive inverse) को जोड़ते हैं। उदाहरण के लिए, 5 - (-3) को 5 + 3 के रूप में लिखा जा सकता है, क्योंकि -3 का योज्य प्रतिलोम 3 है। दोनों का परिणाम 8 होता है।

III. प्रत्येक प्रश्न का दो या तीन पैराग्राफ (100–150 शब्द) में उत्तर दें।

  1. पूर्णांकों के क्रम को संख्या रेखा पर कैसे प्रदर्शित और समझा जा सकता है? विभिन्न प्रकार के पूर्णांकों के बीच संबंध स्पष्ट करें।

    पूर्णांकों के क्रम को संख्या रेखा पर सबसे प्रभावी ढंग से प्रदर्शित किया जा सकता है। संख्या रेखा पर, शून्य (0) केंद्र में होता है। धनात्मक पूर्णांक 0 के दाईं ओर बढ़ते क्रम में होते हैं (1, 2, 3, ...), और ऋणात्मक पूर्णांक 0 के बाईं ओर घटते क्रम में होते हैं (-1, -2, -3, ...)। संख्या रेखा पर दाईं ओर जाने पर संख्याएँ बढ़ती हैं और बाईं ओर जाने पर संख्याएँ घटती हैं। इस प्रकार, कोई भी पूर्णांक जो संख्या रेखा पर दूसरे पूर्णांक के दाईं ओर है, वह हमेशा दूसरे पूर्णांक से बड़ा होता है।

    पूर्णांकों के तीन मुख्य प्रकार हैं: **धनात्मक पूर्णांक** (Positive Integers), जो 1, 2, 3, ... होते हैं; **ऋणात्मक पूर्णांक** (Negative Integers), जो -1, -2, -3, ... होते हैं; और **शून्य** (Zero)। शून्य न तो धनात्मक होता है और न ही ऋणात्मक। सभी धनात्मक पूर्णांक शून्य से बड़े होते हैं, और सभी ऋणात्मक पूर्णांक शून्य से छोटे होते हैं। इसके अलावा, कोई भी धनात्मक पूर्णांक किसी भी ऋणात्मक पूर्णांक से हमेशा बड़ा होता है। उदाहरण के लिए, 5 > -100। यह संख्या रेखा पर उनके स्थानों से स्पष्ट होता है, जहाँ धनात्मक संख्याएँ हमेशा ऋणात्मक संख्याओं के दाईं ओर होती हैं।

  2. पूर्णांकों के योग और व्यवकलन (घटाव) के गुणों को उदाहरण सहित समझाएँ।

    पूर्णांकों के योग और व्यवकलन के कुछ महत्वपूर्ण गुण होते हैं। **योग के लिए**, पूर्णांक संवृत (closed) होते हैं, अर्थात दो पूर्णांकों का योग हमेशा एक पूर्णांक होता है (जैसे 3 + (-7) = -4)। यह क्रमविनिमेय (commutative) भी होता है, जिसका अर्थ है कि पूर्णांकों को किसी भी क्रम में जोड़ने से परिणाम समान रहता है (जैसे 2 + (-5) = -3 और (-5) + 2 = -3)। यह साहचर्य (associative) भी होता है, जिसका अर्थ है कि तीन या अधिक पूर्णांकों को जोड़ते समय उनके समूहन से परिणाम नहीं बदलता (जैसे (2 + (-3)) + 4 = 1 + 4 = 5 और 2 + ((-3) + 4) = 2 + 1 = 3)। शून्य पूर्णांकों के लिए योज्य तत्समक (additive identity) है, क्योंकि किसी भी पूर्णांक में शून्य जोड़ने पर वही पूर्णांक प्राप्त होता है (जैसे -8 + 0 = -8)।

    **व्यवकलन के लिए**, पूर्णांक संवृत होते हैं (अर्थात एक पूर्णांक से दूसरे को घटाने पर हमेशा एक पूर्णांक ही मिलता है, जैसे 5 - 8 = -3)। हालाँकि, व्यवकलन **क्रमविनिमेय नहीं** होता है (जैसे 5 - 3 = 2, लेकिन 3 - 5 = -2) और **साहचर्य भी नहीं** होता है। पूर्णांकों का घटाव अक्सर उनके योज्य प्रतिलोम को जोड़कर किया जाता है, जैसा कि ऊपर बताया गया है। ये गुण पूर्णांकों के साथ गणना करने के नियमों को समझने और विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने में मदद करते हैं।

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