अध्याय 4: आधारभूत ज्यामितीय अवधारणाएँ (Basic Geometrical Ideas)

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर (Questions & Answers)

I. कुछ शब्दों या एक-दो वाक्यों में उत्तर दें।

1. बिंदु (Point) क्या होता है?

   बिंदु ज्यामिति में एक स्थिति या स्थान को दर्शाता है, जिसकी न कोई लंबाई होती है, न चौड़ाई और न ही मोटाई। इसे एक छोटे डॉट से दर्शाया जाता है।

2. रेखाखंड (Line Segment) क्या है?

   रेखाखंड एक रेखा का भाग होता है जिसके दो अंत-बिंदु (endpoints) होते हैं, और इसकी निश्चित लंबाई होती है।

3. किरण (Ray) किसे कहते हैं?

   किरण एक रेखा का भाग होती है जिसका एक अंत-बिंदु होता है और वह एक दिशा में असीमित रूप से बढ़ती है।

4. प्रतिच्छेदी रेखाएँ (Intersecting Lines) क्या होती हैं?

   प्रतिच्छेदी रेखाएँ वे रेखाएँ होती हैं जो एक ही तल में स्थित होती हैं और एक बिंदु पर एक-दूसरे को काटती हैं।

5. समानांतर रेखाएँ (Parallel Lines) क्या होती हैं?

   समानांतर रेखाएँ वे रेखाएँ होती हैं जो एक ही तल में होती हैं और कभी एक-दूसरे को नहीं काटतीं, उनके बीच की दूरी हमेशा समान रहती है।

II. प्रत्येक प्रश्न का एक लघु पैराग्राफ (लगभग 30 शब्द) में उत्तर दें।

1. कोण (Angle) क्या है और उसके घटक क्या होते हैं?

   कोण दो किरणों के मिलन से बनता है जिनका एक उभयनिष्ठ अंत-बिंदु होता है। इस उभयनिष्ठ बिंदु को शीर्ष (Vertex) कहते हैं, और किरणों को कोण की भुजाएँ (Arms or Sides) कहते हैं। कोण को डिग्री में मापा जाता है।

2. खुली और बंद आकृतियों में क्या अंतर है? एक-एक उदाहरण दें।

   खुली आकृति वह होती है जिसके अंत-बिंदु अलग-अलग होते हैं और वह बंद नहीं होती (जैसे एक अक्षर 'C')। बंद आकृति वह होती है जो अपने शुरुआती बिंदु पर वापस आ जाती है, पूरी तरह से बंद होती है, और उसमें कोई खुला सिरा नहीं होता (जैसे एक वर्ग)।

3. बहुभुज (Polygon) किसे कहते हैं?

   बहुभुज एक साधारण बंद आकृति होती है जो तीन या अधिक रेखाखंडों (भुजाओं) से मिलकर बनी होती है। ये रेखाखंड केवल अंत-बिंदुओं पर मिलते हैं और एक-दूसरे को प्रतिच्छेदित नहीं करते। त्रिभुज, वर्ग, पंचभुज आदि बहुभुज के उदाहरण हैं।

III. प्रत्येक प्रश्न का दो या तीन पैराग्राफ (100–150 शब्द) में उत्तर दें।

1. वृत्त (Circle) क्या है? इसके विभिन्न भागों (केंद्र, त्रिज्या, व्यास, जीवा, चाप, त्रिज्यखंड) को समझाएँ।

   वृत्त एक समतल में स्थित उन सभी बिंदुओं का संग्रह है जो एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर होते हैं। इस निश्चित बिंदु को वृत्त का **केंद्र (Center)** कहते हैं। वृत्त की यह स्थिर दूरी **त्रिज्या (Radius)** कहलाती है, जो केंद्र से वृत्त पर किसी भी बिंदु तक खींची गई रेखाखंड होती है। एक वृत्त में अनंत त्रिज्याएँ हो सकती हैं और सभी की लंबाई समान होती है।

   वृत्त के अन्य महत्वपूर्ण भाग हैं:

   • **व्यास (Diameter):** वह रेखाखंड जो वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ता है और केंद्र से होकर गुजरता है। यह सबसे लंबी जीवा होती है और त्रिज्या का दोगुना होता है ($D = 2r$)।
   • **जीवा (Chord):** वह रेखाखंड जो वृत्त पर किन्हीं भी दो बिंदुओं को जोड़ता है। व्यास एक विशेष प्रकार की जीवा है।
   • **चाप (Arc):** वृत्त के किसी भी हिस्से या टुकड़े को चाप कहते हैं। यह वृत्त की परिधि का एक खंड होता है।
   • **त्रिज्यखंड (Sector):** वृत्त का वह क्षेत्र जो दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप से घिरा होता है। यह पिज्जा के एक टुकड़े जैसा दिखता है।
   • **वृत्तखंड (Segment):** वृत्त का वह क्षेत्र जो एक जीवा और उसके संगत चाप से घिरा होता है।
   ये सभी अवधारणाएँ वृत्त की ज्यामितीय संरचना को समझने के लिए महत्वपूर्ण हैं।

2. विभिन्न प्रकार की रेखाओं (रेखा, रेखाखंड, किरण) और उनके गुणों का वर्णन करें।

   ज्यामिति में, रेखाएँ, रेखाखंड और किरणें मूलभूत अवधारणाएँ हैं जो स्थानिक संबंधों को समझने में मदद करती हैं।
   **रेखा (Line):** एक रेखा एक सीधी पथ होती है जो दोनों दिशाओं में असीमित रूप से फैली होती है और इसकी कोई निश्चित लंबाई नहीं होती। इसे दोनों सिरों पर तीरों से दर्शाया जाता है ताकि यह पता चले कि यह अनंत तक जाती है। एक रेखा को दो बिंदुओं (जैसे $\vec{AB}$) या एक छोटे अक्षर (जैसे $l$) से दर्शाया जाता है। रेखा में अनंत बिंदु होते हैं।
   **रेखाखंड (Line Segment):** एक रेखाखंड एक रेखा का एक निश्चित भाग होता है जिसके दो अंत-बिंदु होते हैं। इसकी एक निश्चित लंबाई होती है जिसे मापा जा सकता है। इसे इसके दो अंत-बिंदुओं (जैसे $\overline{AB}$) से दर्शाया जाता है और इसमें कोई तीर नहीं होता क्योंकि यह आगे नहीं बढ़ती।
   **किरण (Ray):** एक किरण एक रेखा का वह भाग होती है जिसका एक अंत-बिंदु होता है और वह एक दिशा में असीमित रूप से बढ़ती है। इसे एक अंत-बिंदु और एक तीर से दर्शाया जाता है (जैसे $\vec{AB}$ जहाँ A अंत-बिंदु है और B वह बिंदु है जिससे होकर किरण आगे बढ़ती है)। किरण की कोई निश्चित लंबाई नहीं होती।
   ये तीनों अवधारणाएँ एक-दूसरे से संबंधित हैं, रेखा सबसे व्यापक है, और रेखाखंड व किरण उसके भाग हैं जो विशिष्ट गुणों के साथ होते हैं।