अध्याय 3: संख्याओं के साथ खेलना (Playing With Numbers)

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर (Questions & Answers)

I. कुछ शब्दों या एक-दो वाक्यों में उत्तर दें।

1. गुणनखंड (Factor) क्या होता है?

   गुणनखंड वह संख्या होती है जो दी गई संख्या को पूरी तरह से विभाजित कर देती है, जिसमें कोई शेष नहीं बचता है।

2. गुणज (Multiple) क्या होता है?

   गुणज वह संख्या होती है जो किसी दी गई संख्या को किसी पूर्णांक से गुणा करने पर प्राप्त होती है।

3. अभाज्य संख्या (Prime Number) किसे कहते हैं?

   अभाज्य संख्या वह संख्या होती है जिसके केवल दो गुणनखंड होते हैं: 1 और वह स्वयं संख्या।

4. भाज्य संख्या (Composite Number) क्या होती है?

   भाज्य संख्या वह संख्या होती है जिसके दो से अधिक गुणनखंड होते हैं।

5. सबसे छोटी अभाज्य संख्या कौन सी है?

   सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 है।

II. प्रत्येक प्रश्न का एक लघु पैराग्राफ (लगभग 30 शब्द) में उत्तर दें।

1. 2 से भाज्यता का नियम (Divisibility Rule of 2) क्या है?

   एक संख्या 2 से भाज्य होती है यदि उसका इकाई अंक 0, 2, 4, 6 या 8 हो। उदाहरण के लिए, 248, 2 से भाज्य है क्योंकि इसका इकाई अंक 8 है।

2. 5 से भाज्यता का नियम (Divisibility Rule of 5) क्या है?

   एक संख्या 5 से भाज्य होती है यदि उसका इकाई अंक 0 या 5 हो। उदाहरण के लिए, 105 और 250 दोनों 5 से भाज्य हैं।

3. अभाज्य गुणनखंडन (Prime Factorization) का क्या अर्थ है?

   अभाज्य गुणनखंडन किसी संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने की प्रक्रिया है। यह अद्वितीय होता है (गुणनखंडों के क्रम को छोड़कर) और बड़ी संख्याओं के HCF और LCM ज्ञात करने में मदद करता है।

III. प्रत्येक प्रश्न का दो या तीन पैराग्राफ (100–150 शब्द) में उत्तर दें।

1. महत्तम समापवर्तक (HCF - Highest Common Factor) और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM - Lowest Common Multiple) को उदाहरण सहित समझाएँ।

   **महत्तम समापवर्तक (HCF)**, जिसे सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक (GCD - Greatest Common Divisor) भी कहते हैं, दो या दो से अधिक दी गई संख्याओं का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड होता है। इसे ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक संख्या के सभी गुणनखंडों को सूचीबद्ध करते हैं और फिर उनमें से सबसे बड़े उभयनिष्ठ गुणनखंड का चयन करते हैं। अभाज्य गुणनखंडन विधि का उपयोग करके, HCF उन सभी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल होता है जिनकी सबसे छोटी घात होती है। उदाहरण के लिए, 12 ($2^2 \times 3$) और 18 ($2 \times 3^2$) का HCF $2^1 \times 3^1 = 6$ है। HCF का उपयोग वास्तविक जीवन की समस्याओं में, जैसे वस्तुओं को समूहों में समान रूप से विभाजित करने में किया जाता है।

   **लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)** दो या दो से अधिक दी गई संख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज होता है। इसे ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक संख्या के गुणजों को सूचीबद्ध करते हैं जब तक कि हमें एक उभयनिष्ठ गुणज न मिल जाए। अभाज्य गुणनखंडन विधि का उपयोग करके, LCM उन सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल होता है जो संख्याओं में मौजूद हैं, जिनकी सबसे बड़ी घात होती है। उदाहरण के लिए, 12 ($2^2 \times 3$) और 18 ($2 \times 3^2$) का LCM $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$ है। LCM का उपयोग उन समस्याओं में किया जाता है जहाँ हमें किसी घटना के दोबारा होने का समय ज्ञात करना होता है, जैसे विभिन्न समय अंतराल पर बजने वाली घंटियों का फिर से एक साथ कब बजना।

2. अंकगणित की आधारभूत प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic) क्या है और यह अभाज्य गुणनखंडन से कैसे संबंधित है?

   अंकगणित की आधारभूत प्रमेय गणित में एक मौलिक अवधारणा है। यह प्रमेय बताती है कि 1 से बड़ी प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में अद्वितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है, गुणनखंडों के क्रम को छोड़कर। इसका मतलब है कि किसी भी भाज्य संख्या के अभाज्य गुणनखंडों का समूह हमेशा एक ही होगा, भले ही हम उन्हें किसी भी क्रम में लिखें। उदाहरण के लिए, संख्या 6 को $2 \times 3$ या $3 \times 2$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, लेकिन इसके अभाज्य गुणनखंड हमेशा 2 और 3 ही रहेंगे।

   यह प्रमेय **अभाज्य गुणनखंडन (Prime Factorization)** की अवधारणा से सीधे संबंधित है। अभाज्य गुणनखंडन वह प्रक्रिया है जिसके द्वारा हम किसी भी भाज्य संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल में तोड़ते हैं। यह प्रमेय हमें विश्वास दिलाती है कि यह अभाज्य गुणनखंडन हमेशा संभव है और यह अद्वितीय है। अभाज्य गुणनखंडन हमें HCF और LCM जैसे अवधारणाओं को समझने और गणना करने में मदद करता है। यह संख्या सिद्धांत (Number Theory) की नींव है और गणित के कई क्षेत्रों में इसका व्यापक उपयोग होता है।