अध्याय 14: प्रायोगिक ज्यामिति (Practical Geometry)

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर (Questions & Answers)

I. कुछ शब्दों या एक-दो वाक्यों में उत्तर दें।

1. प्रायोगिक ज्यामिति क्या है?

   प्रायोगिक ज्यामिति गणित की वह शाखा है जो ज्यामितीय आकृतियों को रूलर, परकार (कंपास), चाँदा (प्रोटेक्टर) और सेट-स्क्वायर जैसे उपकरणों का उपयोग करके खींचने या बनाने से संबंधित है।

2. एक रेखाखंड (Line Segment) को खींचने के लिए आप किस उपकरण का उपयोग करेंगे?

   एक रेखाखंड को खींचने के लिए **रूलर** (पैमाने) का उपयोग किया जाता है।

3. एक वृत्त (Circle) खींचने के लिए किस ज्यामितीय उपकरण का उपयोग किया जाता है?

   एक वृत्त खींचने के लिए **परकार** (कंपास) का उपयोग किया जाता है।

4. कोणों को मापने और खींचने के लिए किस उपकरण का उपयोग किया जाता है?

   कोणों को मापने और खींचने के लिए **चाँदा** (प्रोटेक्टर) का उपयोग किया जाता है।

5. परकार का उपयोग करते हुए, आप किस प्रकार की चाप (arc) बनाते हैं?

   परकार का उपयोग करते हुए, आप **वृत्तीय चाप** (circular arcs) बनाते हैं।

II. प्रत्येक प्रश्न का एक लघु पैराग्राफ (लगभग 30 शब्द) में उत्तर दें।

1. दिए गए रेखाखंड के लंब समद्विभाजक (Perpendicular Bisector) को खींचने के चरणों का संक्षेप में वर्णन करें।

   दिए गए रेखाखंड के लंब समद्विभाजक को खींचने के लिए, रेखाखंड के दोनों अंत बिंदुओं को केंद्र मानकर आधे से अधिक त्रिज्या के चाप खींचें। ये चाप एक-दूसरे को दो बिंदुओं पर काटेंगे। इन प्रतिच्छेदन बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा ही लंब समद्विभाजक होती है।

2. दिए गए कोण के कोण समद्विभाजक (Angle Bisector) को खींचने के चरणों का संक्षेप में वर्णन करें।

   कोण समद्विभाजक खींचने के लिए, कोण के शीर्ष को केंद्र मानकर एक चाप खींचें जो दोनों भुजाओं को काटे। फिर, इन प्रतिच्छेदन बिंदुओं को केंद्र मानकर समान त्रिज्या के दो और चाप खींचें जो एक-दूसरे को काटें। शीर्ष से इस प्रतिच्छेदन बिंदु तक खींची गई रेखा ही कोण समद्विभाजक होती है।

3. एक रूलर और परकार का उपयोग करके 60° का कोण कैसे बनाया जाता है?

   एक रेखा खींचें और उस पर एक बिंदु (शीर्ष) अंकित करें। शीर्ष को केंद्र मानकर एक चाप खींचें जो रेखा को काटे। उसी त्रिज्या के साथ, प्रतिच्छेदन बिंदु को केंद्र मानकर एक और चाप खींचें जो पहले चाप को काटे। शीर्ष से दूसरे प्रतिच्छेदन बिंदु तक एक रेखा खींचें। यह 60° का कोण होगा।

III. प्रत्येक प्रश्न का दो या तीन पैराग्राफ (100–150 शब्द) में उत्तर दें।

1. प्रायोगिक ज्यामिति में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न बुनियादी ज्यामितीय उपकरणों का वर्णन करें और प्रत्येक के उपयोग को स्पष्ट करें।

   प्रायोगिक ज्यामिति में ज्यामितीय आकृतियों को सटीक रूप से बनाने के लिए कई बुनियादी उपकरणों का उपयोग किया जाता है। सबसे पहले, **रूलर** या पैमाना एक सीधा किनारा होता है जिसका उपयोग सीधी रेखाएँ खींचने और दूरियों को मापने के लिए किया जाता है। यह रेखाखंडों की लंबाई निर्धारित करने और उन्हें खींचने में मूलभूत भूमिका निभाता है। दूसरा, **परकार** (कंपास) एक ऐसा उपकरण है जिसमें दो पैर होते हैं, एक में नुकीला सिरा और दूसरे में पेंसिल लगाने की जगह होती है। इसका उपयोग वृत्त और चाप खींचने के लिए किया जाता है। इसकी सहायता से समान त्रिज्या के चाप खींचना संभव होता है, जो कई ज्यामितीय निर्माणों में महत्वपूर्ण है, जैसे कि लंब समद्विभाजक या कोण समद्विभाजक खींचना।

   तीसरा, **चाँदा** (प्रोटेक्टर) एक अर्ध-वृत्ताकार उपकरण होता है जिस पर डिग्री में माप अंकित होते हैं। इसका उपयोग कोणों को मापने और दिए गए माप के कोणों को खींचने के लिए किया जाता है। यह सुनिश्चित करता है कि बनाए गए कोण सटीक हों। चौथा, **सेट-स्क्वायर** आमतौर पर दो होते हैं, एक 45°-45°-90° वाला और दूसरा 30°-60°-90° वाला। इनका उपयोग विशेष कोणों (जैसे 90°, 45°, 30°, 60°) को खींचने, समांतर और लंबवत रेखाएँ खींचने के लिए किया जाता है। इन उपकरणों का संयुक्त उपयोग हमें विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों और उनके गुणों को समझने और उन्हें व्यावहारिक रूप से बनाने में मदद करता है।

2. प्रायोगिक ज्यामिति में विभिन्न ज्यामितीय निर्माणों की प्रक्रिया का विस्तार से वर्णन करें, जैसे रेखाखंड का लंब समद्विभाजक और कोण का समद्विभाजक।

   प्रायोगिक ज्यामिति में सबसे आम और महत्वपूर्ण निर्माणों में से एक **रेखाखंड का लंब समद्विभाजक** खींचना है। इसकी प्रक्रिया इस प्रकार है: सबसे पहले, एक दिया हुआ रेखाखंड AB खींचें। अब, परकार लें और उसकी नोक को बिंदु A पर रखें। परकार को रेखाखंड AB की लंबाई के आधे से अधिक फैलाएँ। इस त्रिज्या के साथ, रेखाखंड के ऊपर और नीचे दो चाप खींचें। इसके बाद, परकार की त्रिज्या को बदले बिना, उसकी नोक को बिंदु B पर रखें और पहले खींचे गए चापों को काटने वाले दो और चाप खींचें। ये नए चाप पहले वाले चापों को दो बिंदुओं, मान लीजिए C और D, पर काटेंगे। अंत में, रूलर का उपयोग करके बिंदुओं C और D को जोड़ते हुए एक सीधी रेखा खींचें। यह रेखा AB के लिए लंब समद्विभाजक होगी, जिसका अर्थ है कि यह AB को 90 डिग्री पर काटती है और इसे दो बराबर भागों में विभाजित करती है।

   एक अन्य महत्वपूर्ण निर्माण **कोण का समद्विभाजक** खींचना है। मान लीजिए हमें कोण $\angle PQR$ का समद्विभाजक खींचना है। इसकी प्रक्रिया इस प्रकार है: सबसे पहले, परकार की नोक को कोण के शीर्ष Q पर रखें। एक उपयुक्त त्रिज्या के साथ एक चाप खींचें जो कोण की दोनों भुजाओं QP और QR को क्रमशः बिंदुओं A और B पर काटे। अब, परकार की नोक को बिंदु A पर रखें और एक चाप खींचें (चाप की त्रिज्या वही या थोड़ी बड़ी हो सकती है)। उसी त्रिज्या के साथ, परकार की नोक को बिंदु B पर रखें और पहले वाले चाप को काटने वाला एक और चाप खींचें। मान लीजिए यह प्रतिच्छेदन बिंदु C है। अंत में, शीर्ष Q से बिंदु C तक एक सीधी रेखा खींचें। यह रेखा QC कोण $\angle PQR$ का समद्विभाजक होगी, जो कोण को दो बराबर कोणों में विभाजित करती है। ये निर्माण ज्यामितीय समस्याओं को हल करने और आकृतियों को सटीक रूप से बनाने के लिए मूलभूत कौशल हैं।