अध्याय 11: बीजगणित (Algebra)

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर (Questions & Answers)

I. कुछ शब्दों या एक-दो वाक्यों में उत्तर दें।

1. बीजगणित क्या है?

   **बीजगणित** गणित की वह शाखा है जिसमें हम संख्याओं और मात्राओं को **अक्षरों** (चरों) और प्रतीकों का उपयोग करके सामान्यीकृत करते हैं, जिससे अज्ञात मानों को खोजना आसान हो जाता है।

2. चर (Variable) क्या होता है?

   **चर** एक प्रतीक (आमतौर पर एक अक्षर जैसे $x, y, z$) होता है जिसका मान **निश्चित नहीं होता** और वह विभिन्न स्थितियों में बदल सकता है।

3. अचर (Constant) क्या होता है?

   **अचर** एक प्रतीक या संख्या होती है जिसका मान **निश्चित होता है** और किसी भी स्थिति में बदलता नहीं है, जैसे 5, 10, आदि।

4. बीजगणितीय व्यंजक (Algebraic Expression) किसे कहते हैं?

   **बीजगणितीय व्यंजक** एक या एक से अधिक चरों और/या अचरों को गणितीय संक्रियाओं (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) से जोड़ने पर बनता है, जैसे **$x + 5$** या **$2y - 3$**।

5. समीकरण (Equation) क्या होता है?

   **समीकरण** एक कथन है जो दर्शाता है कि **दो व्यंजक बराबर हैं**, जिसे '=' (बराबर) चिन्ह से दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, **$x + 7 = 10$** एक समीकरण है।

II. प्रत्येक प्रश्न का एक लघु पैराग्राफ (लगभग 30 शब्द) में उत्तर दें।

1. बीजगणित का अध्ययन क्यों महत्वपूर्ण है?

   बीजगणित महत्वपूर्ण है क्योंकि यह हमें **अज्ञात मात्राओं को खोजने** और वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने में मदद करता है। यह जटिल गणितीय संबंधों को समझने और विभिन्न क्षेत्रों जैसे विज्ञान, इंजीनियरिंग और अर्थशास्त्र में **पैटर्न की पहचान** करने का एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है।

2. एक समीकरण और एक व्यंजक में क्या अंतर है? उदाहरण दें।

   एक **व्यंजक** में बराबर का चिन्ह नहीं होता और यह केवल एक गणितीय वाक्यांश होता है, जैसे **$3x + 2$**। एक **समीकरण** में बराबर का चिन्ह होता है और यह दर्शाता है कि दो व्यंजक बराबर हैं, जैसे **$3x + 2 = 8$**। व्यंजक का मान निकाला जा सकता है, जबकि समीकरण को हल किया जाता है।

3. बीजगणित में पैटर्न को कैसे दर्शाया जाता है? एक उदाहरण दें।

   बीजगणित में **पैटर्न** को नियमों या सूत्रों के रूप में दर्शाया जाता है जिसमें चर होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक त्रिकोणीय पैटर्न में भुजाओं की संख्या 3 और त्रिकोणों की संख्या $n$ है, तो माचिस की तीलियों की कुल संख्या को **$2n + 1$** द्वारा दर्शाया जा सकता है।

III. प्रत्येक प्रश्न का दो या तीन पैराग्राफ (100–150 शब्द) में उत्तर दें।

1. चरों का उपयोग वास्तविक जीवन की समस्याओं को कैसे हल करने में मदद करता है? दो उदाहरणों से समझाएँ।

   **चरों** का उपयोग वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने में बहुत उपयोगी है क्योंकि वे हमें **अज्ञात मात्राओं को दर्शाने** और उन पर गणितीय संक्रियाएँ लागू करने की अनुमति देते हैं। जब हम किसी ऐसी स्थिति का सामना करते हैं जहाँ एक या अधिक मान ज्ञात नहीं होते हैं, तो हम उन्हें चर (जैसे $x$, $y$, आदि) से प्रतिस्थापित कर सकते हैं। यह हमें समस्या को एक बीजगणितीय समीकरण या व्यंजक के रूप में लिखने में मदद करता है, जिसे फिर हल करके अज्ञात मानों को ज्ञात किया जा सकता है। यह सामान्यीकरण हमें एक ही प्रकार की कई समस्याओं के लिए एक सामान्य समाधान खोजने की सुविधा देता है।

   पहला उदाहरण है **खर्च की गणना**। मान लीजिए आप बाजार गए और 5 पेन खरीदे। आपको पता है कि कुल खर्च ₹50 हुआ, लेकिन आपको प्रत्येक पेन की कीमत नहीं पता। यदि हम प्रत्येक पेन की कीमत को **$x$** मानें, तो हम एक समीकरण बना सकते हैं: **$5x = 50$**। इस समीकरण को हल करके, $x = 50/5 = 10$, तो हमें पता चलता है कि प्रत्येक पेन की कीमत ₹10 थी। दूसरा उदाहरण है **आयु संबंधी समस्या**। यदि रमेश, सुरेश से 3 वर्ष बड़ा है और सुरेश की आयु 12 वर्ष है, तो रमेश की आयु ज्ञात करने के लिए हम सुरेश की आयु को $s$ और रमेश की आयु को $r$ मान सकते हैं। चूंकि रमेश, सुरेश से 3 वर्ष बड़ा है, **$r = s + 3$**। $s$ का मान 12 रखने पर, $r = 12 + 3 = 15$। इस प्रकार, रमेश की आयु 15 वर्ष है। ये उदाहरण दर्शाते हैं कि चर कैसे **अज्ञात मानों को व्यवस्थित करने** और समस्या-समाधान को आसान बनाने में मदद करते हैं।

2. समीकरण को हल करने का क्या अर्थ है और आप सरल समीकरणों को कैसे हल करते हैं? उपयुक्त उदाहरण दें।

   एक **समीकरण को हल करने** का अर्थ है **चर (अज्ञात) का वह मान ज्ञात करना** जो समीकरण को सत्य बनाता है। सरल समीकरणों में, हमारा लक्ष्य चर को समीकरण के एक तरफ अलग करना होता है, ताकि उसका मान सीधे प्राप्त हो सके। यह समीकरण के दोनों पक्षों पर **समान गणितीय संक्रियाएँ** करके प्राप्त किया जाता है, ताकि समानता बनी रहे। हम जोड़, घटाव, गुणा या भाग का उपयोग कर सकते हैं ताकि चर के साथ जुड़े हुए अचरों को दूसरे पक्ष में ले जाया जा सके। इस प्रक्रिया को **संतुलन विधि** या **पक्षांतरण विधि (Transposition Method)** भी कहते हैं।

   उदाहरण के लिए, समीकरण **$x + 5 = 12$** को हल करने के लिए, हमें $x$ को अलग करना है। चूंकि $x$ के साथ 5 जोड़ा गया है, हम समीकरण के दोनों पक्षों से 5 घटाएंगे: $x + 5 - 5 = 12 - 5$ **$x = 7$** एक और उदाहरण, समीकरण **$3y = 18$** को हल करने के लिए, $y$ को अलग करने के लिए हम दोनों पक्षों को 3 से भाग देंगे: $3y / 3 = 18 / 3$ **$y = 6$** इन तरीकों का उपयोग करके, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि समीकरण का **संतुलन बना रहे** और हमें चर का सही मान प्राप्त हो, जो समीकरण को संतुष्ट करता है।