अध्याय 10: क्षेत्रमिति (Mensuration)

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर (Questions & Answers)

I. कुछ शब्दों या एक-दो वाक्यों में उत्तर दें।

1. परिमाप (Perimeter) क्या होता है?

   परिमाप किसी बंद आकृति की सीमा की कुल लंबाई होती है।

2. एक वर्ग का परिमाप ज्ञात करने का सूत्र क्या है?

   एक वर्ग का परिमाप $= 4 \times \text{भुजा}$ होता है।

3. क्षेत्रफल (Area) क्या होता है?

   क्षेत्रफल किसी बंद आकृति द्वारा घेरी गई समतल सतह की माप होती है।

4. एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र क्या है?

   एक आयत का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}$ होता है।

5. क्षेत्रफल की मानक इकाई क्या है?

   क्षेत्रफल की मानक इकाई वर्ग इकाई (जैसे वर्ग मीटर, वर्ग सेंटीमीटर) है।

II. प्रत्येक प्रश्न का एक लघु पैराग्राफ (लगभग 30 शब्द) में उत्तर दें।

1. नियमित बहुभुज (Regular Polygon) का परिमाप कैसे ज्ञात किया जाता है? एक उदाहरण दें।

   एक नियमित बहुभुज का परिमाप उसकी एक भुजा की लंबाई को उसकी भुजाओं की संख्या से गुणा करके ज्ञात किया जाता है। उदाहरण के लिए, 5 सेमी भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप $3 \times 5 = 15$ सेमी होगा।

2. अनियमित आकृति (Irregular Figure) का परिमाप कैसे ज्ञात करेंगे?

   एक अनियमित आकृति का परिमाप ज्ञात करने के लिए, हम उसकी सभी बाहरी भुजाओं की लंबाइयों को मापते हैं और उन्हें जोड़ देते हैं। यह तरीका चाहे आकृति कितनी भी जटिल क्यों न हो, उसकी कुल सीमा की लंबाई देता है।

3. दैनिक जीवन में परिमाप और क्षेत्रफल के उपयोग के दो उदाहरण दें।

   दैनिक जीवन में, परिमाप का उपयोग बाड़ लगाने या किसी खेत के चारों ओर तार खींचने में होता है। क्षेत्रफल का उपयोग कमरे में टाइल लगाने के लिए कितनी टाइलों की आवश्यकता है, यह जानने में या दीवार पर पेंट करने के लिए आवश्यक पेंट की मात्रा का अनुमान लगाने में होता है।

III. प्रत्येक प्रश्न का दो या तीन पैराग्राफ (100–150 शब्द) में उत्तर दें।

1. एक आयत और एक वर्ग के परिमाप और क्षेत्रफल के बीच अंतर को उदाहरण सहित समझाएँ। सूत्रों को स्पष्ट करें।

   एक आयत और एक वर्ग दोनों ही चार भुजाओं वाली बंद आकृतियाँ हैं, लेकिन उनके परिमाप और क्षेत्रफल की गणना करने के तरीके में अंतर है। **आयत** में, विपरीत भुजाएँ बराबर लंबाई की होती हैं और सभी कोण 90 डिग्री के होते हैं। यदि आयत की लंबाई 'l' और चौड़ाई 'b' है, तो इसका **परिमाप** $2 \times (\text{लंबाई} + \text{चौड़ाई})$ या $2(l+b)$ होता है। यह सूत्र सभी चार भुजाओं की कुल लंबाई का योग है। इसका **क्षेत्रफल** $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}$ या $l \times b$ होता है, जो आयत द्वारा घेरी गई सतह को दर्शाता है।

   वहीं, **वर्ग** एक विशेष प्रकार का आयत है जहाँ सभी चारों भुजाएँ बराबर लंबाई की होती हैं। यदि वर्ग की भुजा की लंबाई 's' है, तो इसका **परिमाप** $4 \times \text{भुजा}$ या $4s$ होता है। यह सूत्र वर्ग की सभी बराबर भुजाओं की कुल लंबाई का योग है। इसका **क्षेत्रफल** $\text{भुजा} \times \text{भुजा}$ या $s \times s$ (या $s^2$) होता है, जो वर्ग द्वारा घेरी गई सतह को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, 5 सेमी लंबाई और 3 सेमी चौड़ाई वाले आयत का परिमाप $2(5+3) = 16$ सेमी और क्षेत्रफल $5 \times 3 = 15$ वर्ग सेमी होगा। 5 सेमी भुजा वाले वर्ग का परिमाप $4 \times 5 = 20$ सेमी और क्षेत्रफल $5 \times 5 = 25$ वर्ग सेमी होगा।

2. क्षेत्रमिति के महत्त्व को अपने दैनिक जीवन के उदाहरणों से समझाएँ।

   क्षेत्रमिति हमारे दैनिक जीवन में अत्यंत महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह हमें विभिन्न वस्तुओं के आकार और स्थान से संबंधित गणनाएँ करने में मदद करती है। इसका उपयोग निर्माण, योजना और डिजाइन जैसे कई क्षेत्रों में होता है। उदाहरण के लिए, जब आप एक नया घर बनाते हैं, तो आपको यह जानने के लिए क्षेत्रमिति की आवश्यकता होगी कि प्रत्येक कमरे का क्षेत्रफल कितना है ताकि आप सही आकार के फर्नीचर का चयन कर सकें या फर्श पर कितनी टाइलों की आवश्यकता होगी, इसका अनुमान लगा सकें। यह सुनिश्चित करता है कि सामग्री की बर्बादी न हो और कार्य कुशलता से पूरा हो।

   एक और महत्वपूर्ण उपयोग खेती और बागवानी में है। यदि किसी किसान के पास एक खेत है और वह उसके चारों ओर बाड़ लगाना चाहता है, तो उसे बाड़ की कुल लंबाई जानने के लिए खेत का परिमाप ज्ञात करना होगा। इसी तरह, यदि वह खेत में बीज बोना चाहता है, तो उसे बीज की मात्रा का अनुमान लगाने के लिए खेत का क्षेत्रफल पता होना चाहिए। शहरी नियोजन में भी, क्षेत्रमिति का उपयोग पार्कों, सड़कों और इमारतों के लिए आवश्यक भूमि के आकार को निर्धारित करने के लिए किया जाता है, जिससे उचित विकास और संसाधनों का कुशल उपयोग सुनिश्चित होता है। ये उदाहरण दर्शाते हैं कि क्षेत्रमिति केवल एक गणितीय अवधारणा नहीं है, बल्कि एक व्यावहारिक उपकरण है जो हमें अपने आसपास की दुनिया को समझने और प्रबंधित करने में मदद करता है।