अध्याय 1: अपनी संख्याओं की जानकारी (Knowing Our Numbers)

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर (Questions & Answers)

I. कुछ शब्दों या एक-दो वाक्यों में उत्तर दें।

1. सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या की तुलना कैसे करते हैं?

   सबसे पहले अंकों की संख्या गिनते हैं; अधिक अंक वाली संख्या बड़ी होती है। यदि अंकों की संख्या समान है, तो बाईं ओर से पहले असमान अंक की तुलना करते हैं।

2. भारतीय संख्या प्रणाली में पहला अल्पविराम कितने अंकों के बाद लगता है?

   भारतीय संख्या प्रणाली में पहला अल्पविराम दाईं ओर से तीन अंकों के बाद लगता है (सैकड़ा के बाद)।

3. अंतर्राष्ट्रीय संख्या प्रणाली में मिलियन के बाद कौन सा स्थान आता है?

   अंतर्राष्ट्रीय संख्या प्रणाली में मिलियन के बाद दस मिलियन और फिर सौ मिलियन आता है।

4. 1 लाख में कितने हजार होते हैं?

   1 लाख में 100 हजार (100,000) होते हैं।

5. 'IV' रोमन अंक में कौन सी संख्या दर्शाता है?

   'IV' रोमन अंक में 4 संख्या दर्शाता है।

II. प्रत्येक प्रश्न का एक लघु पैराग्राफ (लगभग 30 शब्द) में उत्तर दें।

1. संख्याओं को उनके निकटतम दहाई तक पूर्णांकित करने का क्या अर्थ है? एक उदाहरण दें।

   संख्याओं को निकटतम दहाई तक पूर्णांकित करने का अर्थ है कि यदि इकाई अंक 5 या 5 से अधिक है, तो दहाई अंक को अगले दहाई तक बढ़ा दिया जाता है, अन्यथा दहाई अंक वही रहता है। जैसे, 23 को 20 तक पूर्णांकित किया जाता है, और 27 को 30 तक।

2. भारतीय और अंतर्राष्ट्रीय संख्या प्रणाली के बीच मुख्य अंतर क्या है?

   मुख्य अंतर अल्पविराम लगाने के तरीके में है। भारतीय प्रणाली में पहला अल्पविराम 3 अंकों के बाद, फिर 2-2 अंकों के बाद आता है (हजार, लाख, करोड़)। अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में, अल्पविराम हर 3 अंकों के बाद आता है (हजार, मिलियन, बिलियन)।

3. स्थान मान और अंकित मान में क्या अंतर है?

   अंकित मान (Face Value) अंक का स्वयं का मान होता है (जैसे 5 का अंकित मान 5 है)। स्थान मान (Place Value) अंक का मान उसके स्थान (इकाई, दहाई, सैकड़ा आदि) के आधार पर होता है। जैसे संख्या 543 में 5 का स्थान मान 500 है, जबकि अंकित मान 5 है।

III. प्रत्येक प्रश्न का दो या तीन पैराग्राफ (100–150 शब्द) में उत्तर दें।

1. आप चार दिए गए अंकों का उपयोग करके सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्याएँ कैसे बनाते हैं? (अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है।) उदाहरण सहित समझाएँ।

   चार दिए गए अंकों (जिनमें पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है) से सबसे बड़ी संख्या बनाने के लिए, हमें अंकों को **घटते क्रम (descending order)** में व्यवस्थित करना होता है। उदाहरण के लिए, यदि अंक 3, 8, 1, 5 हैं: सबसे बड़ा अंक 8, फिर 5, फिर 3, और सबसे छोटा 1। इन अंकों को घटते क्रम में रखने पर हमें **8531** प्राप्त होता है, जो सबसे बड़ी संख्या है। यह सुनिश्चित करता है कि सबसे बड़े मान वाले अंक सबसे बाईं ओर (उच्चतम स्थान मान पर) हों।

   सबसे छोटी संख्या बनाने के लिए, हमें अंकों को **बढ़ते क्रम (ascending order)** में व्यवस्थित करना होता है। लेकिन यहाँ एक महत्वपूर्ण नियम है: यदि दिए गए अंकों में **शून्य (0)** शामिल है, तो शून्य को सबसे बाईं ओर (सबसे बड़े स्थान मान पर) नहीं रखा जा सकता, क्योंकि इससे संख्या का मान घट जाएगा (जैसे 0123 का मान केवल 123 होता है)। इस स्थिति में, शून्य को दूसरे सबसे छोटे अंक के बाद रखा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि अंक 2, 0, 7, 4 हैं: बढ़ते क्रम में 0, 2, 4, 7। लेकिन 0 को पहले नहीं रख सकते। इसलिए, हम 2 को पहले रखेंगे और फिर 0, 4, 7। इस प्रकार सबसे छोटी संख्या **2047** होगी। यदि शून्य नहीं है, तो सीधे बढ़ते क्रम में व्यवस्थित करें (जैसे 1, 3, 5, 8 से 1358)।

2. आपके दैनिक जीवन में संख्याओं के अनुमान (estimation) का क्या महत्व है? किन्हीं दो उदाहरणों से समझाएँ।

   दैनिक जीवन में संख्याओं के अनुमान का बहुत महत्व है क्योंकि यह हमें त्वरित और आसान गणनाएँ करने में मदद करता है, खासकर जब हमें सटीक मान की आवश्यकता न हो। यह हमें स्थितियों का आकलन करने और योजना बनाने में सुविधा प्रदान करता है। अनुमान लगाने से मानसिक गणना क्षमता भी बढ़ती है और समय की बचत होती है। यह हमें बड़ी संख्याओं को समझने और उनके साथ काम करने में अधिक सहज बनाता है, जिससे गणितीय समझ मजबूत होती है।

   पहला उदाहरण है **खरीदारी करते समय अनुमान लगाना**। मान लीजिए आप एक दुकान पर हैं और आपको कुछ सामान खरीदना है: एक नोटबुक (₹48), एक पेन (₹12), और एक किताब (₹195)। यदि आपको पास केवल ₹300 हैं, तो आप तुरंत अनुमान लगा सकते हैं कि 48 को 50, 12 को 10 और 195 को 200 मानकर कुल लगभग ₹50 + ₹10 + ₹200 = ₹260 होंगे। इससे आपको पता चल जाएगा कि आपके पास पर्याप्त पैसे हैं और आपको सटीक गणना करने में समय बर्बाद नहीं करना पड़ेगा। दूसरा उदाहरण है **यात्रा के समय का अनुमान लगाना**। यदि आपको पता है कि आपकी कार लगभग 60 किमी/घंटा की औसत गति से चलती है और आपको 170 किमी दूर जाना है, तो आप अनुमान लगा सकते हैं कि आपको लगभग 180/60 = 3 घंटे लगेंगे। यह अनुमान आपको अपनी यात्रा की योजना बनाने और कब निकलना है, यह तय करने में मदद करेगा।