अध्याय 9: त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry)
परिचय
कक्षा 10 के गणित का नौवाँ अध्याय **'त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग' (Some Applications of Trigonometry)** है। पिछले अध्याय में आपने त्रिकोणमितीय अनुपातों के बारे में सीखा है। इस अध्याय में, हम सीखेंगे कि कैसे त्रिकोणमिति का उपयोग विभिन्न ऊंचाइयों और दूरियों को अप्रत्यक्ष रूप से मापने में किया जाता है, बिना उन्हें सीधे मापने की आवश्यकता के। यह विशेष रूप से इंजीनियरिंग, खगोल विज्ञान, भूगोल और नेविगेशन जैसे क्षेत्रों में बहुत उपयोगी है।
इस अध्याय में हम मुख्य रूप से समकोण त्रिभुजों पर आधारित समस्याओं को हल करने के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करेंगे।
---1. दृष्टि रेखा (Line of Sight)
**दृष्टि रेखा (Line of Sight)** उस प्रेक्षक की आँख से वस्तु तक खींची गई रेखा है जिसे प्रेक्षक देख रहा होता है।
2. उन्नयन कोण (Angle of Elevation)
यदि वस्तु प्रेक्षक की आँख के स्तर से ऊपर है, तो **उन्नयन कोण (Angle of Elevation)** दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच बनने वाला कोण होता है।
3. अवनमन कोण (Angle of Depression)
यदि वस्तु प्रेक्षक की आँख के स्तर से नीचे है, तो **अवनमन कोण (Angle of Depression)** दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच बनने वाला कोण होता है।
यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि एक ही स्थिति के लिए, उन्नयन कोण और अवनमन कोण **एकांतर आंतरिक कोण (alternate interior angles)** होने के कारण बराबर होते हैं, यदि प्रेक्षक और वस्तु को जोड़ने वाली क्षैतिज रेखाएं समानांतर हों।
---4. त्रिकोणमितीय अनुपातों का अनुप्रयोग
इन कोणों और त्रिकोणमितीय अनुपातों (sin, cos, tan) का उपयोग करके, हम विभिन्न वास्तविक-विश्व समस्याओं को हल कर सकते हैं, जैसे:
- एक इमारत या मीनार की ऊंचाई ज्ञात करना।
- एक नदी या चौड़ाई को पार करने की दूरी ज्ञात करना।
- किसी वस्तु और प्रेक्षक के बीच की दूरी ज्ञात करना।
- किसी वस्तु का उन्नयन या अवनमन कोण ज्ञात करना।
समस्याओं को हल करने के लिए, आपको समकोण त्रिभुज बनाना होगा, ज्ञात और अज्ञात मात्राओं को लेबल करना होगा, और उपयुक्त त्रिकोणमितीय अनुपात (sin, cos, या tan) का उपयोग करके आवश्यक गणना करनी होगी। विशेष कोणों (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) के त्रिकोणमितीय मानों को याद रखना इस अध्याय के लिए महत्वपूर्ण है।
याद रखने योग्य सूत्र (Trigonometric Ratios):
- $\sin \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{कर्ण}}$ (Perpendicular/Hypotenuse)
- $\cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}}$ (Base/Hypotenuse)
- $\tan \theta = \frac{\text{लम्ब}}{\text{आधार}}$ (Perpendicular/Base)
पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर
अभ्यास 9.1
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भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद-बिंदु से 30 मीटर की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
माना मीनार की ऊंचाई $h$ है ($AB = h$)।मीनार के पाद-बिंदु से दूरी $BC = 30 \text{ m}$ है।शिखर का उन्नयन कोण $\angle ACB = 30^\circ$ है।समकोण $\triangle ABC$ में, हमें लम्ब ($AB$) और आधार ($BC$) के बीच संबंध का उपयोग करना है। इसके लिए $\tan$ अनुपात का उपयोग करेंगे।$\tan C = \frac{AB}{BC}$$\tan 30^\circ = \frac{h}{30}$हम जानते हैं कि $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$।$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{30}$$h = \frac{30}{\sqrt{3}}$हर का परिमेयकरण करने पर:$h = \frac{30}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}$अतः, मीनार की ऊंचाई **$10\sqrt{3}$ मीटर** है।
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आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 30° का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिंदु से जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, की दूरी 8 मीटर है। पेड़ की पूरी ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
माना $AC$ पेड़ की कुल ऊंचाई है। पेड़ बिंदु $B$ से टूट गया।टूटा हुआ भाग $BC'$ जमीन को छूता है। $AB = h_1$ (खड़ा भाग), $BC' = h_2$ (टूटा हुआ भाग)।पेड़ का शिखर जमीन को छूता है $C'$ पर। $\angle BC'D = 30^\circ$।$BD = 8 \text{ m}$ (पाद-बिंदु से शिखर तक की दूरी)।समकोण $\triangle ABD$ में:लम्ब $AB = h_1$, आधार $BD = 8$।$\tan 30^\circ = \frac{AB}{BD} = \frac{h_1}{8}$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h_1}{8} \Rightarrow h_1 = \frac{8}{\sqrt{3}}$अब कर्ण $BC'$ ज्ञात करने के लिए $\cos$ अनुपात का उपयोग करें (या $\sin$ यदि आप $h_1$ का उपयोग करते हैं)।कर्ण $AD = BC'$।$\cos 30^\circ = \frac{BD}{AD} = \frac{8}{AD}$$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{AD} \Rightarrow AD = \frac{16}{\sqrt{3}}$पेड़ की कुल ऊंचाई $= AB + AD = h_1 + AD$$= \frac{8}{\sqrt{3}} + \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}}$हर का परिमेयकरण करने पर:$\frac{24}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$अतः, पेड़ की पूरी ऊंचाई **$8\sqrt{3}$ मीटर** है।
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