अध्याय 7: निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry)
परिचय
कक्षा 10 के गणित का सातवाँ अध्याय **'निर्देशांक ज्यामिति' (Coordinate Geometry)** है। इस अध्याय में, हम दो-आयामी तल (2-D plane) में बिंदुओं के स्थान का अध्ययन करेंगे और उन स्थानों के बीच की दूरी, उन्हें विभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक और इन बिंदुओं से बने त्रिभुजों के क्षेत्रफल जैसे विभिन्न गुणों का पता लगाएंगे। निर्देशांक ज्यामिति बीजगणित और ज्यामिति को जोड़ती है, जिससे ज्यामितीय समस्याओं को बीजगणितीय रूप से हल करना संभव हो जाता है।
---1. दूरी सूत्र (Distance Formula)
दो बिंदुओं $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $PQ$ को निम्न सूत्र से ज्ञात किया जाता है:
विशेष रूप से, मूल बिंदु $O(0, 0)$ से एक बिंदु $P(x, y)$ की दूरी $OP$ है:
2. विभाजन सूत्र (Section Formula)
एक बिंदु $P(x, y)$ के निर्देशांक जो बिंदुओं $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से $m_1:m_2$ के अनुपात में विभाजित करता है, निम्न द्वारा दिए जाते हैं:
यह सूत्र एक रेखाखंड पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने में मदद करता है जो उसे दिए गए अनुपात में विभाजित करता है।
मध्य-बिंदु सूत्र (Mid-point Formula)
विभाजन सूत्र का एक विशेष मामला है जब बिंदु रेखाखंड का मध्य-बिंदु होता है (अर्थात् $m_1 = m_2 = 1$)। इस स्थिति में, मध्य-बिंदु $M(x, y)$ के निर्देशांक होंगे:
3. त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of a Triangle)
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ हैं, निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:
क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए हम निरपेक्ष मान (absolute value) लेते हैं। यदि तीन बिंदु संरेख (collinear) हों, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।
मुख्य बिंदु
- **कार्तीय तल:** बिंदुओं को स्थान देने के लिए X-अक्ष और Y-अक्ष का उपयोग करता है।
- **निर्देशांक:** एक बिंदु का स्थान $(x, y)$ के रूप में।
- **दूरी सूत्र:** दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए।
- **विभाजन सूत्र:** एक रेखाखंड को एक दिए गए अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए।
- **मध्य-बिंदु सूत्र:** एक रेखाखंड के मध्य-बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए।
- **त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र:** तीन दिए गए शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए। (यदि क्षेत्रफल 0 है, तो बिंदु संरेख हैं।)
पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर
अभ्यास 7.1 (दूरी सूत्र)
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बिंदुओं के निम्न युग्मों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए:
(i) $(2, 3)$ और $(4, 1)$
(ii) $(-5, 7)$ और $(-1, 3)$दूरी सूत्र: $D = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
**(i) $(2, 3)$ और $(4, 1)$**यहाँ $(x_1, y_1) = (2, 3)$ और $(x_2, y_2) = (4, 1)$।$D = \sqrt{(4 - 2)^2 + (1 - 3)^2}$$D = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2}$$D = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$$D = 2\sqrt{2}$ इकाई।**(ii) $(-5, 7)$ और $(-1, 3)$**यहाँ $(x_1, y_1) = (-5, 7)$ और $(x_2, y_2) = (-1, 3)$।$D = \sqrt{(-1 - (-5))^2 + (3 - 7)^2}$$D = \sqrt{(-1 + 5)^2 + (-4)^2}$$D = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2}$$D = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$$D = 4\sqrt{2}$ इकाई।
अभ्यास 7.2 (विभाजन सूत्र)
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उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं $(4, -3)$ और $(8, 5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से $3:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
यहाँ $(x_1, y_1) = (4, -3)$, $(x_2, y_2) = (8, 5)$, $m_1 = 3$, $m_2 = 1$।विभाजन सूत्र: $P(x, y) = \left( \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} \right)$$x = \frac{3(8) + 1(4)}{3 + 1} = \frac{24 + 4}{4} = \frac{28}{4} = 7$$y = \frac{3(5) + 1(-3)}{3 + 1} = \frac{15 - 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$अतः, बिंदु के निर्देशांक **$(7, 3)$** हैं।
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बिंदुओं $(2, -2)$ और $(3, 7)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम-त्रिभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
माना बिंदु $A(2, -2)$ और $B(3, 7)$ हैं।सम-त्रिभाजित करने का अर्थ है कि रेखाखंड को 3 बराबर भागों में विभाजित किया गया है।माना $P$ और $Q$ वे बिंदु हैं जो $AB$ को सम-त्रिभाजित करते हैं।बिंदु $P$ रेखाखंड $AB$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।$(x_P, y_P) = \left( \frac{1(3) + 2(2)}{1 + 2}, \frac{1(7) + 2(-2)}{1 + 2} \right)$$(x_P, y_P) = \left( \frac{3 + 4}{3}, \frac{7 - 4}{3} \right) = \left( \frac{7}{3}, \frac{3}{3} \right) = \left( \frac{7}{3}, 1 \right)$बिंदु $Q$ रेखाखंड $AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।$(x_Q, y_Q) = \left( \frac{2(3) + 1(2)}{2 + 1}, \frac{2(7) + 1(-2)}{2 + 1} \right)$$(x_Q, y_Q) = \left( \frac{6 + 2}{3}, \frac{14 - 2}{3} \right) = \left( \frac{8}{3}, \frac{12}{3} \right) = \left( \frac{8}{3}, 4 \right)$अतः, सम-त्रिभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक **$\left( \frac{7}{3}, 1 \right)$ और $\left( \frac{8}{3}, 4 \right)$** हैं।
अभ्यास 7.3 (त्रिभुज का क्षेत्रफल)
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उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष हैं:
(i) $(2, 3), (-1, 0), (2, -4)$
(ii) $(-5, -1), (3, -5), (5, 2)$त्रिभुज का क्षेत्रफल: $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
**(i) $(2, 3), (-1, 0), (2, -4)$**यहाँ $(x_1, y_1) = (2, 3)$, $(x_2, y_2) = (-1, 0)$, $(x_3, y_3) = (2, -4)$।क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |2(0 - (-4)) + (-1)(-4 - 3) + 2(3 - 0)|$क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |2(4) + (-1)(-7) + 2(3)|$क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |8 + 7 + 6|$क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |21| = \frac{21}{2}$ वर्ग इकाई।**(ii) $(-5, -1), (3, -5), (5, 2)$**यहाँ $(x_1, y_1) = (-5, -1)$, $(x_2, y_2) = (3, -5)$, $(x_3, y_3) = (5, 2)$।क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-5(-5 - 2) + 3(2 - (-1)) + 5(-1 - (-5))|$क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-5(-7) + 3(2 + 1) + 5(-1 + 5)|$क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |35 + 3(3) + 5(4)|$क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |35 + 9 + 20|$क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |64| = 32$ वर्ग इकाई। -
$k$ का मान ज्ञात कीजिए ताकि निम्न बिंदु संरेख हों:
(i) $(7, -2), (5, 1), (3, k)$यदि तीन बिंदु संरेख हों, तो उनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$यहाँ $(x_1, y_1) = (7, -2)$, $(x_2, y_2) = (5, 1)$, $(x_3, y_3) = (3, k)$।$7(1 - k) + 5(k - (-2)) + 3(-2 - 1) = 0$$7(1 - k) + 5(k + 2) + 3(-3) = 0$$7 - 7k + 5k + 10 - 9 = 0$$-2k + 8 = 0$$2k = 8$$k = 4$अतः, $k$ का मान **4** है।
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