अध्याय 6: त्रिभुज (Triangles)
परिचय
कक्षा 10 के गणित का छठा अध्याय **'त्रिभुज'** है। पिछली कक्षाओं में, आपने त्रिभुजों और उनके गुणों, विशेष रूप से सर्वांगसम त्रिभुजों (congruent triangles) के बारे में अध्ययन किया है। इस अध्याय में, हम एक नई अवधारणा - **समरूप आकृतियों (similar figures)** पर ध्यान केंद्रित करेंगे, विशेष रूप से समरूप त्रिभुजों पर। हम समरूपता के लिए कसौटियों (criteria) का अध्ययन करेंगे, समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के बीच संबंध और पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध और लागू करेंगे।
याद रखें, दो आकृतियाँ **सर्वांगसम** होती हैं यदि उनका आकार और माप दोनों समान हों। दो आकृतियाँ **समरूप** होती हैं यदि उनका आकार समान हो लेकिन उनका माप समान होना आवश्यक न हो।
---1. समरूप आकृतियाँ (Similar Figures)
- एक ही त्रिज्या वाले सभी वृत्त समरूप होते हैं (सर्वांगसम भी)।
- भिन्न त्रिज्या वाले सभी वृत्त समरूप होते हैं।
- एक ही भुजा की लंबाई वाले सभी वर्ग सर्वांगसम होते हैं।
- भिन्न भुजाओं की लंबाई वाले सभी वर्ग समरूप होते हैं।
- एक ही भुजा की लंबाई वाले सभी समबाहु त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
- भिन्न भुजाओं की लंबाई वाले सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं।
दो बहुभुज (polygons) जिनमें भुजाओं की संख्या समान हो, समरूप होते हैं यदि:
- उनके सभी संगत कोण बराबर हों, और
- उनकी सभी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात (या समानुपात) में हों।
यह महत्वपूर्ण है कि दोनों शर्तें एक साथ संतुष्ट हों।
---2. त्रिभुजों की समरूपता (Similarity of Triangles)
उपरोक्त परिभाषा के अनुसार, दो त्रिभुज $\triangle ABC$ और $\triangle DEF$ समरूप होते हैं, यदि:
- उनके संगत कोण बराबर हों: $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, $\angle C = \angle F$, और
- उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों: $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD}$।
हम लिखते हैं $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ यह इंगित करने के लिए कि $\triangle ABC$ त्रिभुज $\triangle DEF$ के समरूप है।
---3. त्रिभुजों की समरूपता के लिए कसौटियाँ (Criteria for Similarity of Triangles)
दो त्रिभुजों की समरूपता की जाँच के लिए कुछ महत्वपूर्ण कसौटियाँ हैं:
(i) AA समरूपता कसौटी (AA Similarity Criterion)
यदि एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के संगत दो कोणों के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं। (क्योंकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है, तीसरा कोण स्वतः ही बराबर हो जाएगा। इसे AAA समरूपता भी कहा जा सकता है।)
यदि $\triangle ABC$ और $\triangle DEF$ में, $\angle A = \angle D$ और $\angle B = \angle E$, तो $\triangle ABC \sim \triangle DEF$।
(ii) SSS समरूपता कसौटी (SSS Similarity Criterion)
यदि एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की संगत भुजाओं के समानुपाती हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
यदि $\triangle ABC$ और $\triangle DEF$ में, $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD}$ तो $\triangle ABC \sim \triangle DEF$।
(iii) SAS समरूपता कसौटी (SAS Similarity Criterion)
यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो तथा इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाएँ समानुपाती हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं।
यदि $\triangle ABC$ और $\triangle DEF$ में, $\angle A = \angle D$ और $\frac{AB}{DE} = \frac{CA}{FD}$ तो $\triangle ABC \sim \triangle DEF$।
4. समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों से संबंधित प्रमेय (Theorem related to Areas of Similar Triangles)
प्रमेय: दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
यदि $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, तो
5. पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem)
यह एक समकोण त्रिभुज के लिए एक मौलिक प्रमेय है।
प्रमेय: एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
यदि एक समकोण त्रिभुज $ABC$ में, $\angle B = 90^\circ$, तो
6. पाइथागोरस प्रमेय का विलोम (Converse of Pythagoras Theorem)
प्रमेय: यदि एक त्रिभुज में, एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है, तो पहली भुजा के सामने का कोण समकोण होता है।
यदि $\triangle ABC$ में, $AC^2 = AB^2 + BC^2$, तो $\angle B = 90^\circ$।
मुख्य बिंदु
- **समरूप आकृतियाँ:** समान आकार लेकिन समान माप आवश्यक नहीं।
- **दो बहुभुज समरूप होते हैं यदि:**
- उनके संगत कोण बराबर हों।
- उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हों।
- **त्रिभुजों की समरूपता कसौटियाँ:**
- **AA/AAA समरूपता:** दो (या तीन) संगत कोण बराबर हों।
- **SSS समरूपता:** संगत भुजाएँ समानुपाती हों।
- **SAS समरूपता:** एक संगत कोण बराबर हो और उसे अंतर्गत करने वाली भुजाएँ समानुपाती हों।
- **समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का प्रमेय:** क्षेत्रफलों का अनुपात संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
- **पाइथागोरस प्रमेय:** समकोण त्रिभुज में, कर्ण$^2$ = आधार$^2$ + लम्ब$^2$।
- **पाइथागोरस प्रमेय का विलोम:** यदि एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर है, तो पहली भुजा के सामने का कोण समकोण होता है।
पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर
अभ्यास 6.1 (समरूपता का परिचय)
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कोष्ठकों में दिए गए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए रिक्त स्थानों को भरिए:
(i) सभी वृत्त (सर्वांगसम, समरूप) होते हैं।
(ii) सभी वर्ग (सर्वांगसम, समरूप) होते हैं।(i) सभी वृत्त **समरूप** होते हैं।
(ii) सभी वर्ग **समरूप** होते हैं।
अभ्यास 6.2 (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय - थेल्स प्रमेय)
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चित्र में, $DE \parallel BC$ है। $EC$ ज्ञात कीजिए।
(चित्र में एक त्रिभुज $ABC$ है जिसमें $D$ भुजा $AB$ पर और $E$ भुजा $AC$ पर है। $AD=1.5$ सेमी, $DB=3$ सेमी, $AE=1$ सेमी।)चूंकि $DE \parallel BC$ है, आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem - BPT) के अनुसार:$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:$\frac{1.5}{3} = \frac{1}{EC}$$\frac{1}{2} = \frac{1}{EC}$$EC = 2$ सेमी।
अभ्यास 6.3 (समरूपता कसौटियाँ)
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बताइए कि आकृति में दिए गए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन-कौन से युग्म समरूप हैं। इस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में भी व्यक्त कीजिए।
(i) $\triangle ABC$: $A=60^\circ, B=80^\circ, C=40^\circ$
$\triangle PQR$: $P=60^\circ, Q=80^\circ, R=40^\circ$**(i)**
$\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ में:$\angle A = 60^\circ, \angle P = 60^\circ \Rightarrow \angle A = \angle P$$\angle B = 80^\circ, \angle Q = 80^\circ \Rightarrow \angle B = \angle Q$$\angle C = 40^\circ, \angle R = 40^\circ \Rightarrow \angle C = \angle R$चूंकि सभी संगत कोण बराबर हैं, त्रिभुज समरूप हैं।**कसौटी:** AAA समरूपता कसौटी।**सांकेतिक रूप:** $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ -
दी हुई आकृति में, $\triangle ODC \sim \triangle OBA$, $\angle BOC = 125^\circ$ और $\angle CDO = 70^\circ$ है। $\angle DOC$, $\angle DCO$ और $\angle OAB$ ज्ञात कीजिए।
(चित्र में दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ हैं $AC$ और $BD$, जो $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। $DC$ और $AB$ दो समांतर रेखाएँ हैं।)एक सीधी रेखा पर कोणों का योग $180^\circ$ होता है।$\angle DOC + \angle BOC = 180^\circ$ (रैखिक युग्म)$\angle DOC + 125^\circ = 180^\circ \Rightarrow \angle DOC = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$$\triangle DOC$ में, कोणों का योग $180^\circ$ होता है।$\angle DCO + \angle CDO + \angle DOC = 180^\circ$$\angle DCO + 70^\circ + 55^\circ = 180^\circ$$\angle DCO + 125^\circ = 180^\circ \Rightarrow \angle DCO = 55^\circ$दिया है $\triangle ODC \sim \triangle OBA$।समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं।$\angle OAB = \angle OCD$ (या $\angle DCO$)अतः, $\angle OAB = 55^\circ$।उत्तर: $\angle DOC = 55^\circ$, $\angle DCO = 55^\circ$, $\angle OAB = 55^\circ$।
अभ्यास 6.4 (समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल)
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दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमशः $64 \text{ cm}^2$ और $121 \text{ cm}^2$ हैं। यदि पहले त्रिभुज की एक भुजा $12 \text{ cm}$ है, तो दूसरे त्रिभुज की संगत भुजा ज्ञात कीजिए।
माना $\triangle ABC \sim \triangle DEF$।क्षेत्रफल($\triangle ABC$) $= 64 \text{ cm}^2$क्षेत्रफल($\triangle DEF$) $= 121 \text{ cm}^2$माना $AB = 12 \text{ cm}$। हमें $DE$ ज्ञात करना है।समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के प्रमेय के अनुसार:$\frac{\text{क्षेत्रफल}(\triangle ABC)}{\text{क्षेत्रफल}(\triangle DEF)} = \left(\frac{AB}{DE}\right)^2$मान रखने पर:$\frac{64}{121} = \left(\frac{12}{DE}\right)^2$दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:$\sqrt{\frac{64}{121}} = \frac{12}{DE}$$\frac{8}{11} = \frac{12}{DE}$$8 \times DE = 11 \times 12$$DE = \frac{11 \times 12}{8} = \frac{11 \times 3}{2} = \frac{33}{2} = 16.5$ सेमी।अतः, दूसरे त्रिभुज की संगत भुजा **16.5 सेमी** है।
अभ्यास 6.5 (पाइथागोरस प्रमेय)
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कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धारित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लंबाई भी लिखिए।
(i) $7 \text{ cm}, 24 \text{ cm}, 25 \text{ cm}$
(ii) $3 \text{ cm}, 8 \text{ cm}, 6 \text{ cm}$पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, यदि एक त्रिभुज समकोण है, तो सबसे लंबी भुजा (कर्ण) का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होगा।
**(i) $7 \text{ cm}, 24 \text{ cm}, 25 \text{ cm}$**सबसे लंबी भुजा = $25 \text{ cm}$।$25^2 = 625$अन्य दो भुजाओं के वर्गों का योग = $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$चूंकि $25^2 = 7^2 + 24^2$ है, यह एक **समकोण त्रिभुज** है।कर्ण की लंबाई **25 सेमी** है।**(ii) $3 \text{ cm}, 8 \text{ cm}, 6 \text{ cm}$**सबसे लंबी भुजा = $8 \text{ cm}$।$8^2 = 64$अन्य दो भुजाओं के वर्गों का योग = $3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$चूंकि $8^2 \ne 3^2 + 6^2$ है ($64 \ne 45$), यह एक समकोण त्रिभुज **नहीं** है।
(ब्राउज़र के प्रिंट-टू-पीडीएफ फ़ंक्शन का उपयोग करता है। प्रकटन भिन्न हो सकता है।)