अध्याय 4: द्विघात समीकरण (Quadratic Equations)

परिचय

कक्षा 10 के गणित का चौथा अध्याय **'द्विघात समीकरण' (Quadratic Equations)** है। पिछली कक्षाओं में, आपने द्विघात बहुपदों के बारे में पढ़ा है। एक द्विघात समीकरण एक समीकरण है जिसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \ne 0$। इस अध्याय में, हम द्विघात समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों और उनकी मूलों की प्रकृति (nature of roots) पर ध्यान केंद्रित करेंगे।

---

1. द्विघात समीकरण (Quadratic Equation)

एक चर $x$ में एक द्विघात समीकरण एक समीकरण है जिसे $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \ne 0$।

उदाहरण:

---

2. गुणनखंडन द्वारा द्विघात समीकरण का हल (Solution of a Quadratic Equation by Factorisation)

इस विधि में, हम मध्य पद को दो भागों में विभाजित करके द्विघात समीकरण के गुणनखंड करते हैं, और फिर प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर करके मूल (roots) ज्ञात करते हैं।

यदि $ax^2 + bx + c = 0$ के दो गुणनखंड $(px + q)$ और $(rx + s)$ हैं, तो समीकरण को $(px + q)(rx + s) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस स्थिति में, मूल $x = -q/p$ और $x = -s/r$ होंगे।

उदाहरण: $x^2 - 3x - 10 = 0$ को हल करें।

मध्य पद को विभाजित करने पर: $x^2 - 5x + 2x - 10 = 0$

$x(x - 5) + 2(x - 5) = 0$

$(x - 5)(x + 2) = 0$

या तो $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$

या $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

अतः, मूल $5$ और $-2$ हैं।

---

3. पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा द्विघात समीकरण का हल (Solution of a Quadratic Equation by Completing the Square)

यह विधि किसी द्विघात समीकरण को एक पूर्ण वर्ग के रूप में परिवर्तित करके मूल ज्ञात करने में मदद करती है।

मान लीजिए समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है।

  1. समीकरण को $a$ से भाग दें (यदि $a \ne 1$ है) ताकि $x^2$ का गुणांक 1 हो जाए: $x^2 + (b/a)x + c/a = 0$
  2. अचर पद को दाहिनी ओर ले जाएँ: $x^2 + (b/a)x = -c/a$
  3. $(x \text{ के गुणांक के आधे का वर्ग})$ को दोनों पक्षों में जोड़ें। अर्थात्, $(\frac{b}{2a})^2$ को दोनों पक्षों में जोड़ें।
    $x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2$
  4. बायाँ पक्ष एक पूर्ण वर्ग बन जाएगा:
    $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
  5. दोनों पक्षों का वर्गमूल लेकर $x$ के लिए हल करें।
    $x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$
    $x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
    $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
---

4. द्विघात सूत्र (Quadratic Formula)

पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से प्राप्त सूत्र को **द्विघात सूत्र** कहा जाता है। यह किसी भी द्विघात समीकरण के मूलों को ज्ञात करने के लिए एक सीधा तरीका प्रदान करता है।

द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल इस प्रकार दिए जाते हैं:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
यहाँ, व्यंजक $b^2 - 4ac$ को **विविक्तकर (Discriminant)** कहा जाता है और इसे $D$ या $\Delta$ से दर्शाया जाता है।

---

5. मूलों की प्रकृति (Nature of Roots)

विविक्तकर ($D = b^2 - 4ac$) का मान द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति निर्धारित करता है:

  1. यदि $D > 0$ (अर्थात् $b^2 - 4ac > 0$), तो समीकरण के **दो भिन्न वास्तविक मूल** होते हैं।
    $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ और $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$
  2. यदि $D = 0$ (अर्थात् $b^2 - 4ac = 0$), तो समीकरण के **दो समान वास्तविक मूल** होते हैं। (कभी-कभी "एक वास्तविक मूल" भी कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि एक ही मूल की पुनरावृत्ति होती है)।
    $x = \frac{-b}{2a}$
  3. यदि $D < 0$ (अर्थात् $b^2 - 4ac < 0$), तो समीकरण के **कोई वास्तविक मूल नहीं** होते हैं। इस स्थिति में मूल काल्पनिक या जटिल होते हैं, जो इस कक्षा के दायरे से बाहर हैं।
द्विघात समीकरण का ग्राफ (परवलय) और उसके मूलों की स्थिति।

मुख्य बिंदु

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर

अभ्यास 4.1 (द्विघात समीकरण की पहचान)

  1. जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं:
    (i) $(x+1)^2 = 2(x-3)$
    (ii) $x^2 - 2x = (-2)(3-x)$

    द्विघात समीकरण वह होता है जिसे $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में लिखा जा सके, जहाँ $a \ne 0$।
    **(i) $(x+1)^2 = 2(x-3)$**

    $x^2 + 2x + 1 = 2x - 6$
    $x^2 + 2x - 2x + 1 + 6 = 0$
    $x^2 + 7 = 0$
    यह $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का है, जहाँ $a=1, b=0, c=7$। और $a \ne 0$।
    अतः, हाँ, यह एक द्विघात समीकरण है।
    **(ii) $x^2 - 2x = (-2)(3-x)$**
    $x^2 - 2x = -6 + 2x$
    $x^2 - 2x - 2x + 6 = 0$
    $x^2 - 4x + 6 = 0$
    यह $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का है, जहाँ $a=1, b=-4, c=6$। और $a \ne 0$।
    अतः, हाँ, यह एक द्विघात समीकरण है।

अभ्यास 4.2 (गुणनखंडन विधि)

  1. गुणनखंडन विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:
    (i) $x^2 - 3x - 10 = 0$
    (ii) $2x^2 + x - 6 = 0$

    **(i) $x^2 - 3x - 10 = 0$**

    मध्य पद को विभाजित करने पर: $x^2 - 5x + 2x - 10 = 0$
    $x(x - 5) + 2(x - 5) = 0$
    $(x - 5)(x + 2) = 0$
    या तो $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$
    या $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
    मूल हैं $5, -2$।
    **(ii) $2x^2 + x - 6 = 0$**
    मध्य पद को विभाजित करने पर: $2x^2 + 4x - 3x - 6 = 0$
    $2x(x + 2) - 3(x + 2) = 0$
    $(2x - 3)(x + 2) = 0$
    या तो $2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3/2$
    या $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
    मूल हैं $3/2, -2$।

अभ्यास 4.3 (द्विघात सूत्र)

  1. निम्न द्विघात समीकरणों के मूल, यदि उनका अस्तित्व हो, तो द्विघात सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए:
    (i) $2x^2 - 7x + 3 = 0$
    (ii) $x^2 + 4x + 5 = 0$

    द्विघात सूत्र: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
    **(i) $2x^2 - 7x + 3 = 0$**

    यहाँ $a=2, b=-7, c=3$।
    विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25$
    चूंकि $D = 25 > 0$, दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
    $x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2(2)}$
    $x = \frac{7 \pm 5}{4}$
    $x_1 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$
    $x_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = 1/2$
    मूल हैं $3, 1/2$।
    **(ii) $x^2 + 4x + 5 = 0$**
    यहाँ $a=1, b=4, c=5$।
    विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4$
    चूंकि $D = -4 < 0$, कोई वास्तविक मूल नहीं है।

अभ्यास 4.4 (मूलों की प्रकृति)

  1. निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि वास्तविक मूलों का अस्तित्व हो, तो उन्हें ज्ञात कीजिए:
    (i) $2x^2 - 3x + 5 = 0$
    (ii) $3x^2 - 4\sqrt{3}x + 4 = 0$

    **(i) $2x^2 - 3x + 5 = 0$**

    यहाँ $a=2, b=-3, c=5$।
    विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(5) = 9 - 40 = -31$
    चूंकि $D = -31 < 0$, समीकरण के **कोई वास्तविक मूल नहीं** हैं।
    **(ii) $3x^2 - 4\sqrt{3}x + 4 = 0$**
    यहाँ $a=3, b=-4\sqrt{3}, c=4$।
    विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-4\sqrt{3})^2 - 4(3)(4)$
    $D = (16 \times 3) - 48 = 48 - 48 = 0$
    चूंकि $D = 0$, समीकरण के **दो समान वास्तविक मूल** हैं।
    मूल ज्ञात करने के लिए: $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4\sqrt{3})}{2(3)} = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
    दोनों मूल $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ हैं।

  2. एक ऐसी आयताकार आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लंबाई, चौड़ाई की दोगुनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 मीटर$^2$ हो? यदि हाँ, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

    माना चौड़ाई $x$ मीटर है।
    तब लंबाई $2x$ मीटर होगी।
    क्षेत्रफल = लंबाई $\times$ चौड़ाई
    $800 = (2x) \times (x)$
    $800 = 2x^2$
    $x^2 = 400$
    $x^2 - 400 = 0$
    यह एक द्विघात समीकरण है। यहाँ $a=1, b=0, c=-400$।
    विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (0)^2 - 4(1)(-400) = 0 + 1600 = 1600$
    चूंकि $D = 1600 > 0$, वास्तविक मूलों का अस्तित्व है, अतः ऐसी बगिया बनाना संभव है।
    मूल ज्ञात करने के लिए: $x = \frac{-0 \pm \sqrt{1600}}{2(1)} = \frac{\pm 40}{2}$
    $x = 20$ या $x = -20$
    चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः $x = 20$ मीटर।
    चौड़ाई $= 20$ मीटर
    लंबाई $= 2x = 2(20) = 40$ मीटर।



(ब्राउज़र के प्रिंट-टू-पीडीएफ फ़ंक्शन का उपयोग करता है। प्रकटन भिन्न हो सकता है।)