अध्याय 3: दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables)
परिचय
कक्षा 10 के गणित का तीसरा अध्याय **'दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म'** है। पिछली कक्षाओं में, आपने एक चर वाले रैखिक समीकरणों (जैसे $2x+5=0$) और दो चरों वाले रैखिक समीकरणों (जैसे $2x+3y=6$) के बारे में अध्ययन किया है। इस अध्याय में, हम दो चरों वाले **रैखिक समीकरणों के युग्म** (यानी एक साथ दो रैखिक समीकरण) और उनके हल ज्ञात करने के विभिन्न तरीकों पर ध्यान केंद्रित करेंगे।
दो चरों $x$ और $y$ में एक रैखिक समीकरण का मानक रूप है:
$ax + by + c = 0$
जहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं, और $a$ तथा $b$ दोनों शून्य नहीं हैं (अर्थात् $a^2 + b^2 \ne 0$)।
दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म का मानक रूप है:
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$
$a_2x + b_2y + c_2 = 0$
जहाँ $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ वास्तविक संख्याएँ हैं, और $a_1^2 + b_1^2 \ne 0$ तथा $a_2^2 + b_2^2 \ne 0$।
---
1. दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय विधि से हल (Graphical Method of Solution of a Pair of Linear Equations)
प्रत्येक रैखिक समीकरण एक **सीधी रेखा** को निरूपित करता है। जब हमारे पास दो रैखिक समीकरण होते हैं, तो वे ग्राफ पर दो रेखाएँ बनाते हैं। इन दो रेखाओं के बीच तीन संभावनाएं हो सकती हैं:
- **रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं (Intersecting Lines):**
- इस स्थिति में, समीकरण युग्म का एक **अद्वितीय हल** (unique solution) होता है।
- यह युग्म **संगत (consistent)** कहलाता है।
- अनुपात: $\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}$
- **रेखाएँ समांतर होती हैं (Parallel Lines):**
- इस स्थिति में, समीकरण युग्म का **कोई हल नहीं** होता है।
- यह युग्म **असंगत (inconsistent)** कहलाता है।
- अनुपात: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$
- **रेखाएँ संपाती होती हैं (Coincident Lines):** (एक रेखा दूसरी के ऊपर)
- इस स्थिति में, समीकरण युग्म के **अपरिमित रूप से अनेक हल** (infinitely many solutions) होते हैं।
- यह युग्म **संगत (consistent)** और **आश्रित (dependent)** कहलाता है।
- अनुपात: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
2. दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म को हल करने की बीजगणितीय विधियाँ (Algebraic Methods for Solving a Pair of Linear Equations)
बीजगणितीय रूप से हल करने के लिए तीन मुख्य विधियाँ हैं:
(i) प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)
इस विधि में, एक समीकरण से एक चर का मान दूसरे चर के पदों में व्यक्त करके उसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित (substitute) किया जाता है, जिससे एक चर वाला समीकरण प्राप्त होता है जिसे हल किया जा सकता है।
चरण:
- किसी एक समीकरण से एक चर (मान लीजिए $y$) को दूसरे चर ($x$) के पदों में व्यक्त कीजिए।
- इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित कीजिए।
- यह एक चर में रैखिक समीकरण बन जाएगा। इसे हल करके उस चर का मान ज्ञात कीजिए।
- ज्ञात किए गए मान को पहले वाले समीकरण में प्रतिस्थापित करके दूसरे चर का मान ज्ञात कीजिए।
(ii) विलोपन विधि (Elimination Method)
इस विधि में, समीकरणों को उपयुक्त संख्याओं से गुणा करके किसी एक चर के गुणांकों को समान बनाया जाता है, और फिर समीकरणों को जोड़कर या घटाकर उस चर को विलुप्त (eliminate) कर दिया जाता है।
चरण:
- दोनों समीकरणों को उपयुक्त शून्येतर (non-zero) संख्याओं से गुणा करके किसी एक चर (जैसे $x$ या $y$) के गुणांकों को संख्यात्मक रूप से समान बनाइए।
- यदि समान गुणांक वाले पदों के चिह्न समान हैं तो समीकरणों को घटाइए, और यदि चिह्न विपरीत हैं तो समीकरणों को जोड़िए। इससे एक चर विलुप्त हो जाएगा।
- एक चर में प्राप्त रैखिक समीकरण को हल करके उस चर का मान ज्ञात कीजिए।
- इस मान को मूल समीकरणों में से किसी एक में प्रतिस्थापित करके दूसरे चर का मान ज्ञात कीजिए।
(iii) वज्र गुणन विधि (Cross-Multiplication Method)
यह विधि रैखिक समीकरणों को सीधे हल करने का एक सूत्र प्रदान करती है।
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$
$a_2x + b_2y + c_2 = 0$
के लिए, यदि $\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}$ (अद्वितीय हल की स्थिति), तो हल है:
$\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}$
जिससे $x = \frac{b_1c_2 - b_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1}$ और $y = \frac{c_1a_2 - c_2a_1}{a_1b_2 - a_2b_1}$ प्राप्त होता है।
यह विधि विशेष रूप से उपयोगी होती है जब आप सीधे हल प्राप्त करना चाहते हैं, लेकिन इसमें गुणांकों को सही क्रम में रखना महत्वपूर्ण होता है।
---3. दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के युग्म में बदले जा सकने वाले समीकरण (Equations Reducible to a Pair of Linear Equations in Two Variables)
कभी-कभी, हमें ऐसे समीकरण मिलते हैं जो तुरंत रैखिक नहीं दिखते, लेकिन उन्हें उपयुक्त प्रतिस्थापन (substitution) द्वारा रैखिक समीकरणों के युग्म में बदला जा सकता है।
उदाहरण के लिए, समीकरण युग्म:
$\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 13$
$\frac{5}{x} - \frac{4}{y} = -2$
यहाँ $x$ और $y$ हर में हैं।
हम $1/x = u$ और $1/y = v$ मान सकते हैं। तब समीकरण युग्म बन जाएगा:
$2u + 3v = 13$
$5u - 4v = -2$
यह अब $u$ और $v$ में एक रैखिक समीकरण युग्म है, जिसे किसी भी बीजगणितीय विधि से हल किया जा सकता है। $u$ और $v$ के मान ज्ञात करने के बाद, हम $x = 1/u$ और $y = 1/v$ ज्ञात कर सकते हैं।
मुख्य बिंदु
- दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म का मानक रूप: $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$।
- **ग्राफीय निरूपण और हल की प्रकृति:**
- **प्रतिच्छेदी रेखाएँ:** $\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}$ (अद्वितीय हल, संगत युग्म)
- **समांतर रेखाएँ:** $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$ (कोई हल नहीं, असंगत युग्म)
- **संपाती रेखाएँ:** $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ (अपरिमित रूप से अनेक हल, संगत और आश्रित युग्म)
- **बीजगणितीय विधियाँ:**
- **प्रतिस्थापन विधि:** एक चर का मान दूसरे के पदों में व्यक्त कर प्रतिस्थापित करना।
- **विलोपन विधि:** गुणांकों को समान बनाकर एक चर को विलुप्त करना।
- **वज्र गुणन विधि:** सीधे सूत्र का उपयोग करके हल प्राप्त करना।
- कुछ समीकरणों को उपयुक्त प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक समीकरण युग्म में **बदला जा सकता है**।
पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर
अभ्यास 3.1 (ग्राफीय विधि)
-
आफताब अपनी पुत्री से कहता है, "सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था। अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा।" इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
माना आफताब की वर्तमान आयु $x$ वर्ष और उसकी पुत्री की वर्तमान आयु $y$ वर्ष है।**प्रथम स्थिति (7 वर्ष पूर्व):**आफताब की आयु = $(x-7)$ वर्षपुत्री की आयु = $(y-7)$ वर्षप्रश्न के अनुसार: $x - 7 = 7(y - 7)$$x - 7 = 7y - 49$$x - 7y = -42$ (समीकरण 1)**द्वितीय स्थिति (3 वर्ष बाद):**आफताब की आयु = $(x+3)$ वर्षपुत्री की आयु = $(y+3)$ वर्षप्रश्न के अनुसार: $x + 3 = 3(y + 3)$$x + 3 = 3y + 9$$x - 3y = 6$ (समीकरण 2)**बीजगणितीय रूप:**$x - 7y = -42$$x - 3y = 6$**ग्राफीय रूप:** (ग्राफ बनाने के लिए प्रत्येक समीकरण के लिए कम से कम दो बिंदु ज्ञात करें)समीकरण 1 ($x - 7y = -42$):यदि $y=6$, $x - 7(6) = -42 \Rightarrow x - 42 = -42 \Rightarrow x = 0$. बिंदु $(0, 6)$यदि $x=7$, $7 - 7y = -42 \Rightarrow -7y = -49 \Rightarrow y = 7$. बिंदु $(7, 7)$समीकरण 2 ($x - 3y = 6$):यदि $y=0$, $x - 3(0) = 6 \Rightarrow x = 6$. बिंदु $(6, 0)$यदि $x=0$, $0 - 3y = 6 \Rightarrow y = -2$. बिंदु $(0, -2)$इन बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर प्लॉट करके दो रेखाएँ खींचें।
-
अनुपातों $\frac{a_1}{a_2}, \frac{b_1}{b_2}$ और $\frac{c_1}{c_2}$ की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत:
$5x - 4y + 8 = 0$
$7x + 6y - 9 = 0$यहाँ $a_1=5, b_1=-4, c_1=8$$a_2=7, b_2=6, c_2=-9$अनुपातों की तुलना करें:$\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{7}$$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{6} = \frac{-2}{3}$चूंकि $\frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2}$ (अर्थात् $\frac{5}{7} \ne \frac{-2}{3}$), रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।अतः, समीकरण युग्म **संगत (consistent)** है।
अभ्यास 3.2 (बीजगणितीय विधियाँ)
-
निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए:
$x + y = 14$ (1)
$x - y = 4$ (2)समीकरण (2) से, हम $x$ को $y$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: $x = 4 + y$ (3)समीकरण (3) के मान को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर:$(4 + y) + y = 14$$4 + 2y = 14$$2y = 14 - 4$$2y = 10$$y = 5$$y = 5$ का मान समीकरण (3) में रखने पर:$x = 4 + 5 = 9$अतः हल है $x = 9, y = 5$। -
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए:
दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।माना संख्या के इकाई का अंक $y$ और दहाई का अंक $x$ है।मूल संख्या $= 10x + y$अंक पलटने पर बनी संख्या $= 10y + x$**प्रथम शर्त:** अंकों का योग 9 है।$x + y = 9$ (1)**द्वितीय शर्त:** मूल संख्या का नौ गुना, अंक पलटने से बनी संख्या का दो गुना है।$9(10x + y) = 2(10y + x)$$90x + 9y = 20y + 2x$$90x - 2x + 9y - 20y = 0$$88x - 11y = 0$दोनों पक्षों को 11 से भाग देने पर: $8x - y = 0$ (2)**विलोपन विधि से हल:**समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर (क्योंकि $y$ के गुणांक विपरीत चिह्न के हैं):$(x + y) + (8x - y) = 9 + 0$$9x = 9$$x = 1$$x = 1$ का मान समीकरण (1) में रखने पर:$1 + y = 9$$y = 8$मूल संख्या $= 10x + y = 10(1) + 8 = 10 + 8 = 18$अतः, वह संख्या **18** है।
अभ्यास 3.3 (वज्र गुणन विधि)
-
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से किसका एक अद्वितीय हल है, किसका कोई हल नहीं है या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। अद्वितीय हल की स्थिति में, उसे वज्र गुणन विधि से ज्ञात कीजिए।
$x - 3y - 3 = 0$
$3x - 9y - 2 = 0$दिए गए समीकरण हैं:$x - 3y - 3 = 0 \quad (a_1=1, b_1=-3, c_1=-3)$$3x - 9y - 2 = 0 \quad (a_2=3, b_2=-9, c_2=-2)$अनुपातों की तुलना:$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3}$$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$चूंकि $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$ (अर्थात् $\frac{1}{3} = \frac{1}{3} \ne \frac{3}{2}$), रेखाएँ समांतर हैं।अतः, समीकरण युग्म का **कोई हल नहीं** है। वज्र गुणन विधि का प्रयोग आवश्यक नहीं है।
अभ्यास 3.4 (समीकरणों का रैखिक युग्म में बदलना)
-
निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदलकर हल कीजिए:
$\frac{1}{2x} + \frac{1}{3y} = 2$
$\frac{1}{3x} + \frac{1}{2y} = \frac{13}{6}$मान लीजिए $1/x = u$ और $1/y = v$। तब समीकरण बन जाते हैं:$\frac{u}{2} + \frac{v}{3} = 2 \Rightarrow 3u + 2v = 12$ (1)$\frac{u}{3} + \frac{v}{2} = \frac{13}{6} \Rightarrow 2u + 3v = 13$ (2)अब इन रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए विलोपन विधि का उपयोग करें।समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर: $6u + 4v = 24$ (3)समीकरण (2) को 3 से गुणा करने पर: $6u + 9v = 39$ (4)समीकरण (4) में से समीकरण (3) को घटाने पर:$(6u + 9v) - (6u + 4v) = 39 - 24$$5v = 15$$v = 3$$v = 3$ का मान समीकरण (1) में रखने पर:$3u + 2(3) = 12$$3u + 6 = 12$$3u = 6$$u = 2$अब, $x = 1/u = 1/2$ और $y = 1/v = 1/3$।अतः, हल है $x = 1/2, y = 1/3$।
(ब्राउज़र के प्रिंट-टू-पीडीएफ फ़ंक्शन का उपयोग करता है। प्रकटन भिन्न हो सकता है।)