अध्याय 2: बहुपद (Polynomials)

परिचय

कक्षा 10 के गणित का दूसरा अध्याय **'बहुपद' (Polynomials)** है। पिछली कक्षाओं में, आपने एक चर वाले बहुपद, उनके पदों और गुणांकों के बारे में अध्ययन किया है। इस अध्याय में, हम एक बहुपद के **शून्यांकों** (zeros) की ज्यामितीय व्याख्या (geometrical meaning) पर ध्यान केंद्रित करेंगे, विशेष रूप से रैखिक और द्विघात बहुपदों के लिए। हम बहुपदों के शून्यांकों और गुणांकों के बीच संबंध (relationship between zeros and coefficients) भी स्थापित करेंगे, और विभाजन एल्गोरिथम (division algorithm) का अध्ययन करेंगे।

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1. बहुपद के शून्यांकों का ज्यामितीय अर्थ (Geometrical Meaning of the Zeros of a Polynomial)

एक वास्तविक संख्या $k$, बहुपद $p(x)$ का शून्यांक कहलाती है, यदि $p(k) = 0$ हो। ग्राफ पर, बहुपद के शून्यांक वे बिंदु होते हैं जहाँ ग्राफ x-अक्ष को प्रतिच्छेद (intersect) करता है।

(i) रैखिक बहुपद (Linear Polynomial): $ax + b$, जहाँ $a \ne 0$

एक रैखिक बहुपद $ax + b$ का ग्राफ एक **सीधी रेखा** होता है। यह x-अक्ष को ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है, जो इसका अद्वितीय शून्यांक होता है।

शून्यांक $= -b/a$

उदाहरण: $y = 2x + 4$ का शून्यांक $-4/2 = -2$ है। ग्राफ x-अक्ष को $(-2, 0)$ पर काटेगा।

(ii) द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial): $ax^2 + bx + c$, जहाँ $a \ne 0$

एक द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ का ग्राफ एक **परवलय (parabola)** होता है। यह x-अक्ष को अधिकतम दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकता है। इसके आधार पर तीन स्थितियाँ संभव हैं:

  1. ग्राफ x-अक्ष को **दो अलग-अलग बिंदुओं** पर प्रतिच्छेद करता है। इस स्थिति में, द्विघात बहुपद के **दो भिन्न शून्यांक** होते हैं।
  2. ग्राफ x-अक्ष को **ठीक एक बिंदु** पर प्रतिच्छेद करता है (या x-अक्ष को स्पर्श करता है)। इस स्थिति में, द्विघात बहुपद के **दो समान शून्यांक** होते हैं (अर्थात् एक शून्यांक की पुनरावृत्ति होती है)।
  3. ग्राफ x-अक्ष को **किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करता** है। इस स्थिति में, द्विघात बहुपद का **कोई वास्तविक शून्यांक नहीं** होता है।

(iii) त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial): $ax^3 + bx^2 + cx + d$, जहाँ $a \ne 0$

एक त्रिघात बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को अधिकतम **तीन बिंदुओं** पर प्रतिच्छेद कर सकता है। अतः इसके अधिकतम तीन शून्यांक हो सकते हैं।

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2. किसी बहुपद के शून्यांकों और गुणांकों के बीच संबंध (Relationship between Zeros and Coefficients of a Polynomial)

(i) रैखिक बहुपद के लिए (For a Linear Polynomial): $p(x) = ax + b$, $a \ne 0$

शून्यांक $= -b/a = - (\text{अचर पद}) / (\text{x का गुणांक})$

(ii) द्विघात बहुपद के लिए (For a Quadratic Polynomial): $p(x) = ax^2 + bx + c$, $a \ne 0$

मान लीजिए $\alpha$ (अल्फा) और $\beta$ (बीटा) द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ के शून्यांक हैं। तब,

शून्यांकों का योग ($\alpha + \beta$) $= -b/a = - (\text{x का गुणांक}) / (\text{x}^2 \text{ का गुणांक})$
शून्यांकों का गुणनफल ($\alpha \beta$) $= c/a = (\text{अचर पद}) / (\text{x}^2 \text{ का गुणांक})$

यदि शून्यांक $\alpha$ और $\beta$ दिए गए हों, तो द्विघात बहुपद को निम्न प्रकार से लिखा जा सकता है:

$k[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta]$
जहाँ $k$ कोई भी वास्तविक संख्या है।

(iii) त्रिघात बहुपद के लिए (For a Cubic Polynomial): $p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, $a \ne 0$

मान लीजिए $\alpha$, $\beta$ और $\gamma$ (गामा) त्रिघात बहुपद $ax^3 + bx^2 + cx + d$ के शून्यांक हैं। तब,

शून्यांकों का योग ($\alpha + \beta + \gamma$) $= -b/a$
दो-दो शून्यांकों के गुणनफलों का योग ($\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha$) $= c/a$
शून्यांकों का गुणनफल ($\alpha\beta\gamma$) $= -d/a$

यदि शून्यांक $\alpha, \beta, \gamma$ दिए गए हों, तो त्रिघात बहुपद को निम्न प्रकार से लिखा जा सकता है:

$k[x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma]$
जहाँ $k$ कोई भी वास्तविक संख्या है।

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3. बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथम (Division Algorithm for Polynomials)

यह यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम के समान है लेकिन बहुपदों के लिए लागू होता है।

एल्गोरिथम: यदि $p(x)$ और $g(x)$ कोई दो बहुपद हैं, जहाँ $g(x) \ne 0$, तो हम ऐसे बहुपद $q(x)$ और $r(x)$ ज्ञात कर सकते हैं कि

$p(x) = g(x) \times q(x) + r(x)$
जहाँ $r(x) = 0$ या $\text{deg } r(x) < \text{deg } g(x)$।

यहाँ:

यह प्रमेय हमें बहुपदों को विभाजित करने और उनके गुणनखंड ज्ञात करने में मदद करती है। यदि $r(x) = 0$, तो $g(x)$, $p(x)$ का एक गुणनखंड होता है।

विभिन्न प्रकार के बहुपदों के ग्राफ और उनके x-अक्ष प्रतिच्छेदन बिंदु (शून्यांक)।

मुख्य बिंदु

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर

अभ्यास 2.1 (बहुपद के शून्यांकों का ज्यामितीय अर्थ)

  1. किसी बहुपद $p(x)$ के लिए, $y = p(x)$ का ग्राफ नीचे दिया गया है। प्रत्येक स्थिति में, $p(x)$ के शून्यांकों की संख्या ज्ञात कीजिए।
    (ग्राफ यहाँ दिखाए नहीं जा सकते, लेकिन वे x-अक्ष को प्रतिच्छेद करने वाले बिंदुओं की संख्या पर आधारित होंगे)

    शून्यांकों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हमें यह देखना होगा कि ग्राफ x-अक्ष को कितनी बार प्रतिच्छेद करता है:

    (i) ग्राफ x-अक्ष को किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करता है। अतः, शून्यांकों की संख्या = 0।
    (ii) ग्राफ x-अक्ष को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है। अतः, शून्यांकों की संख्या = 1।
    (iii) ग्राफ x-अक्ष को तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है। अतः, शून्यांकों की संख्या = 3।
    (iv) ग्राफ x-अक्ष को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है। अतः, शून्यांकों की संख्या = 2।
    (v) ग्राफ x-अक्ष को एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है। अतः, शून्यांकों की संख्या = 1।
    (vi) ग्राफ x-अक्ष को तीन बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है। अतः, शून्यांकों की संख्या = 3।

अभ्यास 2.2 (शून्यांकों और गुणांकों के बीच संबंध)

  1. निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यांक ज्ञात कीजिए और शून्यांकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए:
    (i) $x^2 - 2x - 8$
    (ii) $4s^2 - 4s + 1$

    **(i) $x^2 - 2x - 8$**

    शून्यांक ज्ञात करने के लिए: $x^2 - 2x - 8 = 0$
    $(x - 4)(x + 2) = 0$
    शून्यांक हैं $x = 4$ और $x = -2$।
    जाँच:
    शून्यांकों का योग: $4 + (-2) = 2$
    गुणांकों से योग: $-b/a = -(-2)/1 = 2$ (सत्य)
    शून्यांकों का गुणनफल: $4 \times (-2) = -8$
    गुणांकों से गुणनफल: $c/a = -8/1 = -8$ (सत्य)
    **(ii) $4s^2 - 4s + 1$**
    शून्यांक ज्ञात करने के लिए: $4s^2 - 4s + 1 = 0$
    $(2s - 1)(2s - 1) = 0$
    शून्यांक हैं $s = 1/2$ और $s = 1/2$।
    जाँच:
    शून्यांकों का योग: $1/2 + 1/2 = 1$
    गुणांकों से योग: $-b/a = -(-4)/4 = 4/4 = 1$ (सत्य)
    शून्यांकों का गुणनफल: $(1/2) \times (1/2) = 1/4$
    गुणांकों से गुणनफल: $c/a = 1/4$ (स सत्य)

  2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यांकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं:
    (i) $1/4, -1$
    (ii) $\sqrt{2}, 1/3$

    द्विघात बहुपद का सूत्र: $k[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta]$
    **(i) $1/4, -1$**

    योग $(\alpha + \beta) = 1/4$
    गुणनफल $(\alpha \beta) = -1$
    बहुपद: $k[x^2 - (1/4)x + (-1)]$
    $k[x^2 - x/4 - 1]$
    यदि $k=4$ लें (ताकि भिन्नात्मक पद हट जाएँ): $4x^2 - x - 4$
    **(ii) $\sqrt{2}, 1/3$**
    योग $(\alpha + \beta) = \sqrt{2}$
    गुणनफल $(\alpha \beta) = 1/3$
    बहुपद: $k[x^2 - \sqrt{2}x + 1/3]$
    यदि $k=3$ लें: $3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1$

अभ्यास 2.3 (बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथम)

  1. विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करके, $p(x)$ को $g(x)$ से भाग देने पर भागफल $q(x)$ तथा शेषफल $r(x)$ ज्ञात कीजिए:
    $p(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 3$, $g(x) = x^2 - 2$

    हम $p(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 3$ को $g(x) = x^2 - 2$ से विभाजित करेंगे।
    ``` x -3 ____________ x^2 - 2 | x^3 - 3x^2 + 5x - 3 -(x^3 - 2x) ___________ -3x^2 + 7x - 3 -(-3x^2 + 6) ___________ 7x - 9 ```
    भागफल $q(x) = x - 3$
    शेषफल $r(x) = 7x - 9$



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