अध्याय 14: प्रायिकता (Probability)
परिचय
कक्षा 10 के गणित का चौदहवाँ अध्याय **'प्रायिकता' (Probability)** है। प्रायिकता गणित की वह शाखा है जो किसी घटना के घटित होने की संभावना का संख्यात्मक माप करती है। हमारे दैनिक जीवन में "संभावना", "शक", "अनिश्चितता" जैसे शब्दों का बहुत उपयोग होता है। प्रायिकता हमें इन अनिश्चितताओं को मापने का एक तरीका प्रदान करती है। यह अध्याय आपको प्रायिकता की बुनियादी अवधारणाओं, घटनाओं के प्रकार और विभिन्न समस्याओं में प्रायिकता की गणना करना सिखाएगा।
---1. प्रायिकता की आधारभूत अवधारणाएँ (Basic Concepts of Probability)
- **प्रायिकता (Probability):** किसी घटना के घटित होने की संभावना का संख्यात्मक माप।
- **यादृच्छिक प्रयोग (Random Experiment):** एक प्रयोग जिसके परिणाम की भविष्यवाणी निश्चित रूप से नहीं की जा सकती है, लेकिन सभी संभावित परिणाम ज्ञात होते हैं। उदाहरण: एक सिक्का उछालना, एक पासा फेंकना।
- **परिणाम (Outcome):** एक यादृच्छिक प्रयोग का संभावित नतीजा।
- **प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space - S):** एक प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का समुच्चय। उदाहरण: एक सिक्के के लिए $S = \{H, T\}$ (हेड, टेल), एक पासे के लिए $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$।
- **घटना (Event - E):** प्रतिदर्श समष्टि का कोई भी उपसमुच्चय। यह उन परिणामों का संग्रह है जिनमें हम रुचि रखते हैं। उदाहरण: एक पासा फेंकने पर एक सम संख्या प्राप्त करना, $E = \{2, 4, 6\}$।
2. प्रायिकता का सूत्र (Formula for Probability)
किसी घटना $E$ की प्रायिकता $P(E)$ को निम्न सूत्र से परिभाषित किया जाता है:
$P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{संभावित परिणामों की कुल संख्या}}$
जहाँ, $0 \le P(E) \le 1$ होता है।
- यदि $P(E) = 0$, तो घटना एक **असंभव घटना (Impossible Event)** है। (उदाहरण: पासा फेंकने पर 7 आना)
- यदि $P(E) = 1$, तो घटना एक **निश्चित घटना (Sure Event)** या **निश्चित घटना (Certain Event)** है। (उदाहरण: पासा फेंकने पर 7 से कम संख्या आना)
3. पूरक घटनाएँ (Complementary Events)
एक घटना $E$ और "घटना $E$ नहीं" (जो $E'$ या $\bar{E}$ द्वारा दर्शाई जाती है) को **पूरक घटनाएँ** कहा जाता है।
$P(E) + P(E') = 1$
इसका अर्थ है कि $P(E') = 1 - P(E)$।
---4. घटना के प्रकार (Types of Events)
- **प्राथमिक घटना (Elementary Event):** वह घटना जिसमें प्रयोग का केवल एक ही परिणाम हो। उदाहरण: एक सिक्का उछालने पर हेड आना ($E = \{H\}$)।
- **यौगिक घटना (Compound Event):** वह घटना जिसमें एक से अधिक परिणाम हों। उदाहरण: पासा फेंकने पर सम संख्या आना ($E = \{2, 4, 6\}$)।
मुख्य बिंदु
- प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की संभावना का माप है।
- यह 0 और 1 के बीच होती है।
- $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{संभावित परिणामों की कुल संख्या}}$
- असंभव घटना की प्रायिकता 0 होती है।
- निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होती है।
- $P(E) + P(E') = 1$
- ताश के पत्तों, पासे, सिक्कों से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए सभी संभावित परिणामों की पूरी समझ महत्वपूर्ण है।
पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर
अभ्यास 14.1
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एक सिक्के को 1000 बार उछालने पर, निम्नलिखित बारंबारताएँ प्राप्त होती हैं:
चित (Head): 455 बार
पट (Tail): 545 बार
प्रत्येक घटना की प्रायिकता अभिकलित कीजिए।कुल परीक्षणों की संख्या $= 1000$चित आने की संख्या $= 455$चित आने की प्रायिकता $P(\text{चित}) = \frac{\text{चित आने की संख्या}}{\text{कुल परीक्षणों की संख्या}} = \frac{455}{1000} = 0.455$पट आने की संख्या $= 545$पट आने की प्रायिकता $P(\text{पट}) = \frac{\text{पट आने की संख्या}}{\text{कुल परीक्षणों की संख्या}} = \frac{545}{1000} = 0.545$ -
दो सिक्कों को एक साथ 200 बार उछालने पर, निम्नलिखित बारंबारताएँ प्राप्त होती हैं:
दो चित: 60 बार
एक चित: 90 बार
कोई चित नहीं: 50 बार
प्रत्येक घटना की प्रायिकता अभिकलित कीजिए।कुल परीक्षणों की संख्या $= 200$दो चित आने की संख्या $= 60$$P(\text{दो चित}) = \frac{60}{200} = \frac{3}{10} = 0.3$एक चित आने की संख्या $= 90$$P(\text{एक चित}) = \frac{90}{200} = \frac{9}{20} = 0.45$कोई चित नहीं आने की संख्या $= 50$$P(\text{कोई चित नहीं}) = \frac{50}{200} = \frac{1}{4} = 0.25$ -
एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई गेंद:
(i) लाल हो?
(ii) लाल न हो?लाल गेंदों की संख्या $= 3$काली गेंदों की संख्या $= 5$गेंदों की कुल संख्या $= 3 + 5 = 8$**(i) लाल गेंद होने की प्रायिकता:**लाल गेंद के अनुकूल परिणामों की संख्या $= 3$$P(\text{लाल गेंद}) = \frac{\text{लाल गेंद की संख्या}}{\text{कुल गेंदों की संख्या}} = \frac{3}{8}$**(ii) लाल गेंद न होने की प्रायिकता:**लाल गेंद न होने का अर्थ है कि गेंद काली है।काली गेंद के अनुकूल परिणामों की संख्या $= 5$$P(\text{लाल न हो}) = P(\text{काली गेंद}) = \frac{5}{8}$वैकल्पिक रूप से, $P(\text{लाल न हो}) = 1 - P(\text{लाल गेंद}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{8-3}{8} = \frac{5}{8}$ -
एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
(i) एक अभाज्य संख्या
(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या
(iii) एक विषम संख्याएक पासे को फेंकने पर संभावित परिणाम (प्रतिदर्श समष्टि) $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।संभावित परिणामों की कुल संख्या $= 6$**(i) एक अभाज्य संख्या:**अभाज्य संख्याएँ हैं $\{2, 3, 5\}$।अनुकूल परिणामों की संख्या $= 3$$P(\text{अभाज्य संख्या}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$**(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या:**2 और 6 के बीच की संख्याएँ हैं $\{3, 4, 5\}$।अनुकूल परिणामों की संख्या $= 3$$P(\text{2 और 6 के बीच की संख्या}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$**(iii) एक विषम संख्या:**विषम संख्याएँ हैं $\{1, 3, 5\}$।अनुकूल परिणामों की संख्या $= 3$$P(\text{विषम संख्या}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ -
52 पत्तों की अच्छी तरह से फेंटी गई एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
(i) एक लाल रंग का बादशाह
(ii) एक फेस कार्ड (तस्वीर वाला पत्ता)
(iii) एक लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता
(iv) पान का गुलाम
(v) हुकुम का पत्ता
(vi) एक ईंट की बेगमपत्तों की कुल संख्या $= 52$**(i) एक लाल रंग का बादशाह:**लाल रंग के बादशाह 2 होते हैं (पान का बादशाह और ईंट का बादशाह)।अनुकूल परिणामों की संख्या $= 2$$P(\text{लाल बादशाह}) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$**(ii) एक फेस कार्ड (तस्वीर वाला पत्ता):**प्रत्येक सूट में 3 फेस कार्ड होते हैं (गुलाम, बेगम, बादशाह)। 4 सूट हैं।कुल फेस कार्ड $= 4 \times 3 = 12$अनुकूल परिणामों की संख्या $= 12$$P(\text{फेस कार्ड}) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$**(iii) एक लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता:**लाल रंग के सूट (पान और ईंट) में फेस कार्ड $= 2 \times 3 = 6$अनुकूल परिणामों की संख्या $= 6$$P(\text{लाल तस्वीर वाला पत्ता}) = \frac{6}{52} = \frac{3}{26}$**(iv) पान का गुलाम:**पान का गुलाम केवल 1 होता है।अनुकूल परिणामों की संख्या $= 1$$P(\text{पान का गुलाम}) = \frac{1}{52}$**(v) हुकुम का पत्ता:**हुकुम के कुल पत्ते 13 होते हैं।अनुकूल परिणामों की संख्या $= 13$$P(\text{हुकुम का पत्ता}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$**(vi) एक ईंट की बेगम:**ईंट की बेगम केवल 1 होती है।अनुकूल परिणामों की संख्या $= 1$$P(\text{ईंट की बेगम}) = \frac{1}{52}$
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