अध्याय 13: सांख्यिकी (Statistics)

परिचय

कक्षा 10 के गणित का तेरहवाँ अध्याय **'सांख्यिकी' (Statistics)** है। इस अध्याय में, हम अवर्गीकृत डेटा के लिए माध्य (Mean), माध्यिका (Median), और बहुलक (Mode) की अवधारणाओं को आगे बढ़ाएंगे और उन्हें वर्गीकृत डेटा पर लागू करेंगे। हम संचयी आवृत्ति वितरण (Cumulative Frequency Distribution) और ग्राफिक रूप से माध्यिका का प्रतिनिधित्व करने के लिए ओगिव (Ogive) के बारे में भी जानेंगे। यह अध्याय डेटा विश्लेषण और व्याख्या के लिए महत्वपूर्ण कौशल प्रदान करता है।

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1. वर्गीकृत डेटा का माध्य (Mean of Grouped Data)

माध्य केंद्रीय प्रवृत्ति का एक माप है। वर्गीकृत डेटा के लिए माध्य ज्ञात करने के तीन मुख्य तरीके हैं:

(a) प्रत्यक्ष विधि (Direct Method)

इस विधि में, हम प्रत्येक वर्ग अंतराल का **वर्ग-चिह्न (class-mark)** ($x_i$) ज्ञात करते हैं, जो वर्ग अंतराल का मध्य-बिंदु होता है। फिर, हम इसे संगत आवृत्ति ($f_i$) से गुणा करते हैं।

$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$

जहाँ $\sum f_i x_i$ सभी $f_i x_i$ मानों का योग है और $\sum f_i$ सभी आवृत्तियों का योग है।

(b) कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean Method)

जब $x_i$ और $f_i$ के संख्यात्मक मान बड़े होते हैं, तो गणना को सरल बनाने के लिए इस विधि का उपयोग किया जाता है। हम डेटा से एक 'कल्पित माध्य' ($A$) चुनते हैं (आमतौर पर मध्य वर्ग-चिह्न)।

$\text{विचलन (Deviation)} \quad d_i = x_i - A$
$\bar{x} = A + \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}$

(c) पग-विचलन विधि (Step-Deviation Method)

यह कल्पित माध्य विधि का एक और सरलीकरण है, खासकर जब सभी विचलन ($d_i$) का एक सामान्य गुणनखंड होता है।

$u_i = \frac{x_i - A}{h}$
जहाँ $h$ वर्ग अंतराल की चौड़ाई (वर्ग आकार) है।
$\bar{x} = A + \left(\frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i}\right) h$
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2. वर्गीकृत डेटा का बहुलक (Mode of Grouped Data)

**बहुलक (Mode)** वह मान है जो डेटा में सबसे अधिक बार आता है। वर्गीकृत डेटा के लिए, हम बहुलक को सूत्र का उपयोग करके ज्ञात करते हैं:

$\text{Mode} = L + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) h$

जहाँ:

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3. वर्गीकृत डेटा की माध्यिका (Median of Grouped Data)

**माध्यिका (Median)** डेटा के केंद्रीय मान है जब डेटा को आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। वर्गीकृत डेटा के लिए, माध्यिका को ज्ञात करने के लिए हमें संचयी आवृत्ति की आवश्यकता होती है।

$\text{Median} = L + \left(\frac{N/2 - cf}{f}\right) h$

जहाँ:

माध्यिका वर्ग वह वर्ग है जिसकी संचयी आवृत्ति $N/2$ से अधिक या बराबर होती है।

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4. माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच अनुभवजन्य संबंध (Empirical Relationship Between Mean, Median and Mode)

इन तीनों केंद्रीय प्रवृत्ति के मापों के बीच एक अनुभवजन्य संबंध है:

$\text{3 Median = Mode + 2 Mean}$

यह संबंध एक वितरण में केंद्रीय प्रवृत्ति के विभिन्न मापों को एक साथ जोड़ने में मदद करता है।

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5. संचयी आवृत्ति वितरण का ग्राफिक प्रतिनिधित्व (Graphical Representation of Cumulative Frequency Distribution)

माध्यिका को ग्राफिक रूप से **ओगिव (Ogive)** नामक वक्रों का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है। दो प्रकार के ओगिव होते हैं:

माध्यिका को दोनों ओगिव के प्रतिच्छेदन बिंदु से x-अक्ष पर खींची गई लंबवत रेखा द्वारा पाया जा सकता है।

ओगिव वक्र का चित्र

पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर

अभ्यास 13.1 (माध्य)

  1. निम्नलिखित सारणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है। भोजन पर दैनिक व्यय का माध्य ज्ञात कीजिए।
    दैनिक व्यय (₹) परिवारों की संख्या ($f_i$)
    100-1504
    150-2005
    200-25012
    250-3002
    300-3502

    वर्ग-चिह्न ($x_i$) और $f_i x_i$ की गणना करते हैं:
    दैनिक व्यय (₹)परिवारों की संख्या ($f_i$)वर्ग-चिह्न ($x_i$)$f_i x_i$
    100-1504125500
    150-2005175875
    200-250122252700
    250-3002275550
    300-3502325650
    योग$\sum f_i = 25$$\sum f_i x_i = 5275$
    माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{5275}{25} = 211$
    अतः, भोजन पर दैनिक व्यय का माध्य **₹ 211** है।

अभ्यास 13.2 (बहुलक और माध्य)

  1. निम्नलिखित सारणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ष में भर्ती हुए रोगियों की आयु को दर्शाती है। इस डेटा का बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए।
    आयु (वर्षों में) रोगियों की संख्या ($f_i$)
    5-156
    15-2511
    25-3521
    35-4523
    45-5514
    55-655

    **बहुलक की गणना:**
    अधिकतम आवृत्ति 23 है, जो वर्ग 35-45 के संगत है।
    बहुलक वर्ग = 35-45
    $L = 35$, $h = 10$, $f_1 = 23$, $f_0 = 21$, $f_2 = 14$
    बहुलक $= L + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) h$
    बहुलक $= 35 + \left(\frac{23 - 21}{2 \times 23 - 21 - 14}\right) 10$
    बहुलक $= 35 + \left(\frac{2}{46 - 35}\right) 10$
    बहुलक $= 35 + \left(\frac{2}{11}\right) 10 = 35 + \frac{20}{11} \approx 35 + 1.82 = 36.82$
    अतः, आयु का बहुलक **36.82 वर्ष** है।
    **माध्य की गणना (प्रत्यक्ष विधि):**
    आयु (वर्षों में)रोगियों की संख्या ($f_i$)वर्ग-चिह्न ($x_i$)$f_i x_i$
    5-1561060
    15-251120220
    25-352130630
    35-452340920
    45-551450700
    55-65560300
    योग$\sum f_i = 80$$\sum f_i x_i = 2830$
    माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{2830}{80} = 35.375$
    अतः, आयु का माध्य **35.375 वर्ष** है।

अभ्यास 13.3 (माध्यिका)

  1. निम्नलिखित बारंबारता बंटन एक गाँव के 100 खेतों की प्रति हेक्टेयर गेहूँ का उत्पादन दर्शाता है। इस बंटन के लिए माध्यिका उत्पादन ज्ञात कीजिए।
    उत्पादन (किग्रा/हेक्टेयर) खेतों की संख्या ($f_i$)
    50-552
    55-608
    60-6512
    65-7024
    70-7538
    75-8016

    संचयी आवृत्ति की गणना करते हैं:
    उत्पादन (किग्रा/हेक्टेयर)खेतों की संख्या ($f_i$)संचयी आवृत्ति (cf)
    50-5522
    55-6082 + 8 = 10
    60-651210 + 12 = 22
    65-702422 + 24 = 46
    70-753846 + 38 = 84
    75-801684 + 16 = 100
    योग$N = 100$
    $N = 100$, तो $N/2 = 50$।
    संचयी आवृत्ति जो 50 से अधिक या बराबर है, वह 84 है, जो वर्ग 70-75 के संगत है।
    माध्यिका वर्ग = 70-75
    $L = 70$, $f = 38$ (माध्यिका वर्ग की आवृत्ति), $cf = 46$ (माध्यिका वर्ग से पहले की संचयी आवृत्ति), $h = 5$।
    माध्यिका $= L + \left(\frac{N/2 - cf}{f}\right) h$
    माध्यिका $= 70 + \left(\frac{50 - 46}{38}\right) 5$
    माध्यिका $= 70 + \left(\frac{4}{38}\right) 5 = 70 + \frac{20}{38} = 70 + \frac{10}{19}$
    माध्यिका $\approx 70 + 0.526 = 70.526$
    अतः, माध्यिका उत्पादन **70.53 किग्रा/हेक्टेयर (लगभग)** है।



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