अध्याय 11: वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल (Areas Related to Circles)
परिचय
कक्षा 10 के गणित का ग्यारहवाँ अध्याय **'वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल' (Areas Related to Circles)** है। इस अध्याय में, हम वृत्त, वृत्त के त्रिज्यखंड (sector) और वृत्तखंड (segment) के क्षेत्रफलों से संबंधित अवधारणाओं का अध्ययन करेंगे। हम परिधि और क्षेत्रफल के लिए मूलभूत सूत्रों की समीक्षा करेंगे और फिर उनका विस्तार करके त्रिज्यखंड और वृत्तखंड के क्षेत्रफल, साथ ही वृत्तों से संबंधित अन्य आकृतियों के क्षेत्रफलों की गणना सीखेंगे। यह अध्याय वास्तविक जीवन की समस्याओं में वृत्तीय आकृतियों से जुड़े क्षेत्रफलों को समझने में महत्वपूर्ण है।
---1. वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल (Perimeter and Area of a Circle)
हम कक्षा IX से वृत्त के परिमाप (या परिधि) और क्षेत्रफल के बारे में जानते हैं।
- वृत्त की परिधि (Circumference of a circle): वृत्त के चारों ओर की दूरी।
$C = 2\pi r$जहाँ $r$ वृत्त की त्रिज्या है।
- वृत्त का क्षेत्रफल (Area of a circle): वृत्त द्वारा घेरा गया क्षेत्र।
$A = \pi r^2$जहाँ $r$ वृत्त की त्रिज्या है।
पाई ($\pi$) एक गणितीय स्थिरांक है, जिसका मान लगभग $22/7$ या $3.14$ होता है। जब तक अन्यथा न कहा जाए, $\pi = 22/7$ का प्रयोग किया जाएगा।
---2. त्रिज्यखंड और वृत्तखंड का क्षेत्रफल (Area of Sector and Segment of a Circle)
वृत्त का एक भाग उसके **त्रिज्यखंड (sector)** या **वृत्तखंड (segment)** के रूप में होता है।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (Area of a Sector)
एक वृत्त का त्रिज्यखंड दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप से घिरा क्षेत्र होता है। यदि केंद्र पर कोण $\theta$ डिग्री है और त्रिज्या $r$ है, तो:
- **त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल:**
$\text{Area of sector} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$
- **चाप की लंबाई (Length of an arc):**
$\text{Length of arc} = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$
एक वृत्त में दो प्रकार के त्रिज्यखंड होते हैं: **लघु त्रिज्यखंड (Minor sector)** और **दीर्घ त्रिज्यखंड (Major sector)**।
दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $=$ वृत्त का क्षेत्रफल $-$ लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
वृत्तखंड का क्षेत्रफल (Area of a Segment)
एक वृत्त का वृत्तखंड एक जीवा और संबंधित चाप से घिरा क्षेत्र होता है।
- **लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल (Area of minor segment):**
$\text{Area of minor segment} = \text{Area of corresponding sector} - \text{Area of triangle}$$= \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 - \frac{1}{2} r^2 \sin\theta$(यदि $\theta$ रेडियन में है, तो त्रिकोण का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}r^2 \sin\theta$ होता है।)
- **दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल (Area of major segment):**
$\text{Area of major segment} = \text{Area of circle} - \text{Area of minor segment}$
3. समतल आकृतियों के संयोजनों के क्षेत्रफल (Areas of Combinations of Plane Figures)
दैनिक जीवन में, हम अक्सर विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों के संयोजन से बनी वस्तुओं को देखते हैं। इस खंड में, हम वृत्तों और अन्य आकृतियों जैसे त्रिभुजों, आयतों या वर्गों के संयोजन से बनी आकृतियों के क्षेत्रफलों की गणना करेंगे। ऐसे क्षेत्रफलों की गणना करने के लिए, हमें आकृति को परिचित आकृतियों में विभाजित करना होगा और फिर उनके क्षेत्रफलों को जोड़ना या घटाना होगा।
मुख्य बिंदु
- **वृत्त की परिधि:** $C = 2\pi r$
- **वृत्त का क्षेत्रफल:** $A = \pi r^2$
- **त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (कोण $\theta$ और त्रिज्या $r$ के साथ):** $\frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$
- **चाप की लंबाई (कोण $\theta$ और त्रिज्या $r$ के साथ):** $\frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$
- **वृत्तखंड का क्षेत्रफल:** संबंधित त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $-$ संबंधित त्रिभुज का क्षेत्रफल।
- जटिल आकृतियों के क्षेत्रफलों की गणना करने के लिए उन्हें सरल आकृतियों में तोड़ें।
पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर
अभ्यास 11.1 (वृत्त, त्रिज्यखंड और चाप की लंबाई)
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6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण $60^\circ$ है।
दिया है: वृत्त की त्रिज्या $r = 6 \text{ cm}$।त्रिज्यखंड का कोण $\theta = 60^\circ$।त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र: $\text{Area} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$क्षेत्रफल $= \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times (6)^2$क्षेत्रफल $= \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 36$क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times 6$क्षेत्रफल $= \frac{132}{7} \text{ cm}^2$अतः, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल **$\frac{132}{7} \text{ cm}^2$** है।
-
एक वृत्त के चतुर्थांश (quarter) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22 cm है।
दिया है: वृत्त की परिधि $C = 22 \text{ cm}$।हम जानते हैं कि $C = 2\pi r$।$22 = 2 \times \frac{22}{7} \times r$$r = \frac{22 \times 7}{2 \times 22} = \frac{7}{2} \text{ cm}$एक वृत्त का चतुर्थांश $90^\circ$ के कोण वाला एक त्रिज्यखंड होता है।चतुर्थांश का क्षेत्रफल $= \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2$क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (\frac{7}{2})^2$क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \frac{49}{4}$क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times 22 \times \frac{7}{4}$क्षेत्रफल $= \frac{154}{16} = \frac{77}{8} \text{ cm}^2$अतः, वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल **$\frac{77}{8} \text{ cm}^2$** है।
अभ्यास 11.2 (वृत्तखंड और संयोजित आकृतियों का क्षेत्रफल)
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त्रिज्या 12 cm वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर $120^\circ$ का कोण अंतरित करती है। संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (पाई = 3.14 का प्रयोग करें)
दिया है: त्रिज्या $r = 12 \text{ cm}$।केंद्र पर अंतरित कोण $\theta = 120^\circ$।संगत त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$क्षेत्रफल $= \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 3.14 \times (12)^2$क्षेत्रफल $= \frac{1}{3} \times 3.14 \times 144$क्षेत्रफल $= 3.14 \times 48 = 150.72 \text{ cm}^2$संबंधित त्रिभुज का क्षेत्रफल (केंद्र पर $120^\circ$ के साथ): $\text{Area of } \triangle = \frac{1}{2} r^2 \sin\theta$क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} (12)^2 \sin(120^\circ)$क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 144 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ (चूंकि $\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$)क्षेत्रफल $= 72 \times \frac{1.732}{2} = 36 \times 1.732 = 62.352 \text{ cm}^2$संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $-$ त्रिभुज का क्षेत्रफलक्षेत्रफल $= 150.72 - 62.352 = 88.368 \text{ cm}^2$अतः, संगत वृत्तखंड का क्षेत्रफल **$88.368 \text{ cm}^2$** है।
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