अध्याय 10: वृत्त (Circles)
परिचय
कक्षा 10 के गणित का दसवाँ अध्याय **'वृत्त' (Circles)** है। इस अध्याय में, हम वृत्त और उससे संबंधित विभिन्न महत्वपूर्ण अवधारणाओं का अध्ययन करेंगे, जैसे स्पर्श रेखाएँ (tangents), छेदक रेखाएँ (secants), और वृत्त की स्पर्श रेखाओं के गुण। वृत्त ज्यामिति में एक मूलभूत आकृति है, और इसकी समझ कई व्यावहारिक और सैद्धांतिक समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है।
---1. वृत्त और संबंधित पद (Circle and Related Terms)
एक वृत्त (Circle) तल में उन सभी बिंदुओं का समूह होता है जो तल में एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से एक निश्चित दूरी (त्रिज्या) पर होते हैं।
- केंद्र (Centre): वृत्त के केंद्र में स्थित निश्चित बिंदु।
- त्रिज्या (Radius - $r$): केंद्र से वृत्त पर किसी बिंदु तक की दूरी।
- जीवा (Chord): वृत्त पर किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड।
- व्यास (Diameter - $d$): वृत्त की सबसे लंबी जीवा जो केंद्र से होकर गुजरती है। $d = 2r$।
- चाप (Arc): वृत्त के परिधि का एक भाग।
- त्रिज्यखंड (Sector): दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप से घिरा क्षेत्र।
- वृत्तखंड (Segment): एक जीवा और संबंधित चाप से घिरा क्षेत्र।
2. वृत्त और एक रेखा (A Circle and a Line)
एक वृत्त और एक रेखा के बीच तीन संभावनाएं हो सकती हैं:
- अप्रतिच्छेदी रेखा (Non-intersecting Line): रेखा वृत्त को किसी भी बिंदु पर नहीं काटती है।
- छेदक रेखा (Secant): रेखा वृत्त को दो भिन्न बिंदुओं पर काटती है।
- स्पर्श रेखा (Tangent): रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है। यह स्पर्श बिंदु (point of contact) कहलाता है।
स्पर्श रेखा का महत्वपूर्ण गुण: स्पर्श बिंदु से त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है।
जहाँ O वृत्त का केंद्र है, P स्पर्श बिंदु है, और AB स्पर्श रेखा है।
3. वृत्त की स्पर्श रेखाओं की संख्या (Number of Tangents from a Point on a Circle)
एक बिंदु से एक वृत्त पर खींची जा सकने वाली स्पर्श रेखाओं की संख्या उस बिंदु की स्थिति पर निर्भर करती है:
- वृत्त के अंदर एक बिंदु (Point inside the circle): वृत्त के अंदर के किसी भी बिंदु से कोई स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती।
- वृत्त पर एक बिंदु (Point on the circle): वृत्त पर किसी बिंदु से केवल एक स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।
- वृत्त के बाहर एक बिंदु (Point outside the circle): वृत्त के बाहर के किसी बिंदु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
प्रमेय 10.2: बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।
जहाँ P वृत्त के बाहर एक बिंदु है, और PA तथा PB वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
मुख्य बिंदु
- स्पर्श रेखा (Tangent): एक रेखा जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है।
- स्पर्श बिंदु (Point of Contact): वह बिंदु जहाँ स्पर्श रेखा वृत्त को स्पर्श करती है।
- प्रमेय 10.1: स्पर्श बिंदु से त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है।
- प्रमेय 10.2: बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।
- वृत्त के अंदर के बिंदु से कोई स्पर्श रेखा नहीं, वृत्त पर के बिंदु से एक, और वृत्त के बाहर के बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
पाठ्यपुस्तक के प्रश्न और उत्तर
अभ्यास 10.1 (स्पर्श रेखाओं और संबंधित अवधारणाओं को समझना)
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एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?
एक वृत्त पर **अनंत (infinite)** स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं। वृत्त के प्रत्येक बिंदु पर एक अद्वितीय स्पर्श रेखा खींची जा सकती है, और एक वृत्त पर अनंत बिंदु होते हैं।
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रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
(i) एक वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को ............. कहते हैं।
(ii) एक वृत्त की ............. समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।(i) एक वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को **छेदक रेखा (secant)** कहते हैं।(ii) एक वृत्त की **दो (two)** समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं। ये दो स्पर्श रेखाएँ वृत्त के व्यास के विपरीत सिरों पर खींची जाती हैं।
अभ्यास 10.2 (स्पर्श रेखाओं के गुणों पर आधारित)
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एक बिंदु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 24 cm है तथा Q की केंद्र से दूरी 25 cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
माना वृत्त का केंद्र O है और स्पर्श बिंदु P है।दिया है: स्पर्श रेखा PQ की लंबाई = 24 cm (PQ = 24 cm)केंद्र O से बिंदु Q की दूरी = 25 cm (OQ = 25 cm)हमें त्रिज्या OP ज्ञात करनी है।हम जानते हैं कि स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है (प्रमेय 10.1)।इसलिए, $\triangle OPQ$ एक समकोण त्रिभुज है, जहाँ $\angle OPQ = 90^\circ$।पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करने पर:$OP^2 + PQ^2 = OQ^2$$OP^2 + 24^2 = 25^2$$OP^2 + 576 = 625$$OP^2 = 625 - 576$$OP^2 = 49$$OP = \sqrt{49}$$OP = 7 \text{ cm}$अतः, वृत्त की त्रिज्या **7 cm** है।
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सिद्ध कीजिए कि बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिंदुओं को केंद्र से मिलाने वाले रेखाखंडों द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है।
माना O वृत्त का केंद्र है और P वृत्त के बाहर एक बिंदु है।माना PA और PB वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ हैं जो बिंदु A और B पर वृत्त को स्पर्श करती हैं।हमें सिद्ध करना है कि $\angle APB + \angle AOB = 180^\circ$।हम जानते हैं कि त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा पर लंब होती है।इसलिए, $\angle OAP = 90^\circ$ और $\angle OBP = 90^\circ$।चतुर्भुज OAPB में, कोणों का योग $360^\circ$ होता है।तो, $\angle OAP + \angle APB + \angle OBP + \angle AOB = 360^\circ$$90^\circ + \angle APB + 90^\circ + \angle AOB = 360^\circ$$180^\circ + \angle APB + \angle AOB = 360^\circ$$\angle APB + \angle AOB = 360^\circ - 180^\circ$$\angle APB + \angle AOB = 180^\circ$अतः, स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण और केंद्र पर अंतरित कोण एक दूसरे के संपूरक होते हैं।
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