NCERT Solutions Class 6 Maths – (गणित प्रकाश) अध्याय 1: गणित में पैटर्न
1) क्या आप ऐसे अन्य उदाहरण सोच सकते हैं जहाँ गणित हमारे रोजमर्रा के जीवन में हमारी मदद करता है?
उत्तर:
उदाहरण:- भोजन तैयार करना, घरेलू बजट बनाना, व्यवसाय, खरीदारी, बिल तैयार करना।
2) गणित ने मानवता को आगे बढ़ाने में किस प्रकार योगदान दिया है? (आप निम्नलिखित उदाहरणों के बारे में सोच सकते हैं: वैज्ञानिक प्रयोग करना; हमारी अर्थव्यवस्था और लोकतंत्र का संचालन करना; पुल, घर या अन्य जटिल संरचनाओं का निर्माण करना; टीवी, मोबाइल फोन, कंप्यूटर, साइकिल, ट्रेन, कार, हवाई जहाज, कैलेंडर, घड़ियां आदि बनाना।)
उत्तर:
गणित हमें किसी व्यक्ति के विचारों को समझने और भविष्य की भविष्यवाणी करने में मदद करता है। मनुष्य की मानसिक क्षमताएं गणित के माध्यम से विकसित होती हैं।
1.2 इसका पता लगाएँ:
तालिका 1 संख्या अनुक्रमों के उदाहरण
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, … (सभी 1) |
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … (गिनती की संख्याएँ) |
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … (विषम संख्याएँ) |
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, … (सम संख्याएँ) |
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, … (त्रिकोणीय संख्याएँ) |
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, … (वर्ग) |
1, 8, 27, 64, 125, 216, … (घन) |
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... (विरहांक अंक) |
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, … (2 की घातें) |
1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, … (3 की घातें) |
2) तालिका 1 में दी गई प्रत्येक अनुक्रम को अपनी नोटबुक में पुनः लिखें, साथ ही प्रत्येक अनुक्रम में अगले तीन नंबर भी लिखें! प्रत्येक अनुक्रम के बाद, अपने शब्दों में लिखें कि अनुक्रम में संख्याओं को बनाने का नियम क्या है।
उत्तर:
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, (… 1, 1, 1) (सभी 1) |
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, (…8, 9, 10) (गिनती संख्याएँ) |
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, (…15, 17, 19) (विषम संख्याएँ) |
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, (…16, 18, 20) (सम संख्याएँ) |
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, (…36, 45, 55) (त्रिकोणीय संख्याएँ) |
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, (…64, 81, 100) (वर्ग) |
1, 8, 27, 64, 125, 216, (…343, 512, 729) (घन) |
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, (...34, 55, 89) (विरहांक संख्याएँ) विरहंका संख्या - पिछली दो संख्याओं को जोड़ने पर प्राप्त होती है |
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, (…128, 256, 512) (2 की घातें) |
1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, (…2187, 6561, 19683) (3 की घातें) |
1.3 इसका पता लगाएँ:
तालिका 2 कुछ संख्या अनुक्रमों का सचित्र निरूपण।
| सभी 1 | |
 | गिनती की संख्याएँ |
 | विषम संख्याएँ |
| सम संख्या | |
| त्रिभुजाकार संख्याएँ | |
| वर्गों | |
 | घन |
1) तालिका 2 में दी गई संख्या अनुक्रमों के चित्रात्मक निरूपणों को अपनी नोटबुक में प्रतिलिपि करें, और प्रत्येक अनुक्रम के लिए अगला चित्र बनाएँ।
उत्तर:
उत्तर:
 | सभी 1 |
 | गिनती की संख्याएँ |
 | विषम संख्याएँ |
 | सम संख्या |
| त्रिभुजाकार संख्याएँ | |
 | वर्गों |
 | घन |
2) 1, 3, 6, 10, 15, … को त्रिभुजाकार संख्याएँ क्यों कहा जाता है? 1, 4, 9, 16, 25, … को वर्ग संख्याएँ या वर्ग क्यों कहा जाता है? 1, 8, 27, 64, 125, … को घन क्यों कहा जाता है?
उत्तर:
त्रिभुजाकार आकृति में 1, 3, 6, 10, 15, ... संख्याएँ क्रमानुसार लिखी गई हैं। इन्हें त्रिभुजाकार आकृति में बिंदुओं द्वारा दर्शाया गया है।
वर्ग संख्याएँ पूर्ण संख्याओं के वर्ग होते हैं। ये एक वर्ग का क्षेत्रफल बनाते हैं जिसे दो समान आकार की पूर्णांक संख्याओं में विभाजित किया जाता है। इसलिए, 1, 4, 9, 16, 25, … को वर्ग संख्याएँ या वर्ग कहा जाता है।
घन एक त्रिविमीय आकृति है जिसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई समान होती है। इसका आयतन भुजाओं की लंबाई को गुणा करके निकाला जा सकता है। घन संख्या तब प्राप्त होती है जब हम किसी संख्या को उसी संख्या से गुणा करते हैं और फिर उसी संख्या से दोबारा गुणा करते हैं। इसलिए, 1, 8, 27, 64, 125, आदि को घन कहा जाता है।
3) आपने देखा होगा कि 36 एक त्रिभुजाकार संख्या भी है और एक वर्गाकार संख्या भी! यानी, 36 बिंदुओं को त्रिभुज और वर्ग दोनों आकृतियों में पूरी तरह से व्यवस्थित किया जा सकता है। इसे दर्शाने वाले चित्र अपनी नोटबुक में बनाएँ!
इससे पता चलता है कि एक ही संख्या को संदर्भ के अनुसार अलग-अलग तरीकों से दर्शाया जा सकता है और वह अलग-अलग भूमिकाएँ निभा सकती है। कुछ अन्य संख्याओं को भी चित्र के माध्यम से अलग-अलग तरीकों से दर्शाने का प्रयास करें!
उत्तर:
कुछ अन्य समान संख्याएँ जिन्हें अलग-अलग तरीकों से दर्शाया जा सकता है और जो अलग-अलग भूमिकाएँ निभाती हैं, जैसे कि 1225 (35 × 35)।
4) संख्याओं के निम्नलिखित क्रम को आप क्या कहेंगे?
जी हां, इन्हें षट्कोणीय संख्याएँ कहते हैं! इन्हें अपनी नोटबुक में बनाइए। अनुक्रम में अगली संख्या क्या होगी?
उत्तर:
5) क्या आप 3 की घातों के क्रम को दर्शाने के लिए चित्रात्मक तरीके सोच सकते हैं?
उत्तर:
यहां 3 की घातों के बारे में सोचने का एक संभावित तरीका दिया गया है:
1.4 इसका पता लगाएँ:
1) क्या आप इस बात का कोई चित्रमय स्पष्टीकरण दे सकते हैं कि गिनती की संख्याओं को ऊपर और नीचे जोड़ने पर, जैसे कि 1, 1 + 2 + 1, 1 + 2 + 3 + 2 + 1, …, वर्ग संख्याएँ क्यों प्राप्त होती हैं?
उत्तर:
गिनती की संख्याओं को ऊपर और नीचे जोड़ने से एक ऐसा चित्र बनता है जो किसी भी आकार के वर्ग के लिए उपयुक्त होता है। इसीलिए गिनती की संख्याओं को ऊपर और नीचे जोड़ने से वर्ग संख्याएँ प्राप्त होती हैं।
2) अपनी तस्वीर का एक बड़ा संस्करण बनाकर, या आवश्यकतानुसार उसे आंशिक रूप से बनाकर, क्या आप बता सकते हैं कि 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 + 99 + … + 3 + 2 + 1 का मान क्या होगा?
उत्तर:
1 = 1
1 + 2 + 1 = 4
1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9
1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36
.
.
.
1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 + 99 + … + 3 + 2 + 1 = 10000
3) जब आप सभी 1 के अनुक्रम को ऊपर की ओर जोड़ना शुरू करते हैं तो आपको कौन सा अनुक्रम प्राप्त होता है? जब आप सभी 1 के अनुक्रम को ऊपर और नीचे की ओर जोड़ते हैं तो आपको कौन सा अनुक्रम प्राप्त होता है?
उत्तर:
जब हम सभी 1 वाले अनुक्रम को जोड़ते हैं, तो हमें गिनती की संख्याओं का अनुक्रम प्राप्त होता है। (पहला चित्र )
जब हम सभी 1 वाले अनुक्रम को ऊपर और नीचे जोड़ते हैं, तो हमें विषम संख्याओं का अनुक्रम प्राप्त होता है। (दूसरी तस्वीर )
4) गिनती की संख्याओं को जोड़ना शुरू करने पर आपको कौन सा क्रम प्राप्त होता है? क्या आप इसका एक छोटा चित्रमय स्पष्टीकरण दे सकते हैं?
उत्तर:
जब हम गिनती की संख्याओं को जोड़ना शुरू करते हैं तो हमें त्रिभुजाकार संख्याओं का अनुक्रम प्राप्त होता है।
5) लगातार त्रिभुजाकार संख्याओं के युग्मों को जोड़ने पर क्या होता है? यानी, 1 + 3, 3 + 6, 6 + 10, 10 + 15, … ? आपको कौन सा क्रम प्राप्त होता है? क्यों? क्या आप इसे चित्र सहित समझा सकते हैं?
उत्तर:
जब हम लगातार त्रिभुजाकार संख्याओं के जोड़े जोड़ते हैं, जैसे कि 1 + 3, 3 + 6, 6 + 10, 10 + 15, … तो हमें वर्ग संख्या अनुक्रम प्राप्त होता है।
6) क्या होता है जब आप 1 से शुरू करके 2 की घातों को जोड़ना शुरू करते हैं, यानी 1, 1 + 2, 1 + 2 + 4, 1 + 2 + 4 + 8, … लेते हैं? अब इनमें से प्रत्येक संख्या में 1 जोड़ें—आपको कौन सी संख्याएँ प्राप्त होती हैं? ऐसा क्यों होता है?
उत्तर:
1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 4 = 7
1 + 2 + 4 + 8 = 15
.
.
.
अब इन संख्याओं में से प्रत्येक में 1 जोड़ें।
1 + 1 = 2
3 + 1 = 4
7 + 1 = 8
15 + 1 = 16
.
.
.
तो, हमें 2 की घातों का क्रम प्राप्त होता है।
7) त्रिभुजाकार संख्याओं को 6 से गुणा करके 1 जोड़ने पर क्या होता है? आपको कौन सा अनुक्रम प्राप्त होता है? क्या आप इसे चित्र सहित समझा सकते हैं?
उत्तर:
1×6 + 1 = 7
3×6 + 1 = 19
6×6 + 1 = 37
10×6 + 1 = 61
15×6 + 1 = 91
.
.
.
जब हम त्रिभुजाकार संख्याओं को 6 से गुणा करते हैं और उसमें 1 जोड़ते हैं, तो हमें षट्कोणीय संख्याओं का क्रम प्राप्त होता है।
8) जब आप षट्कोणीय संख्याओं को जोड़ना शुरू करते हैं, यानी 1, 1 + 7, 1 + 7 + 19, 1 + 7 + 19 + 37, … लेते हैं, तो क्या होता है? आपको कौन सा क्रम प्राप्त होता है? क्या आप इसे घन के चित्र का उपयोग करके समझा सकते हैं?
उत्तर:
1
1 + 7 = 8
1 + 7 + 19 = 27
1 + 7 + 19 + 37 = 64
.
.
जब हम षट्कोणीय संख्याओं को जोड़ना शुरू करते हैं, जैसे कि 1, 1 + 7, 1 + 7 + 19, 1 + 7 + 19 + 37, तो हमें लगातार संख्याओं का घन प्राप्त होता है।
1.5 इसका पता लगाएँ:
2) तालिका 3 में दी गई प्रत्येक अनुक्रम को अपनी नोटबुक में दोबारा बनाने का प्रयास करें। क्या आप प्रत्येक अनुक्रम में अगली आकृति बना सकते हैं? क्यों या क्यों नहीं? प्रत्येक अनुक्रम के बाद, अपने शब्दों में उस अनुक्रम में आकृतियों को बनाने का नियम या पैटर्न बताएं।
उत्तर:
 | नियमित बहुभुज: हमें भुजाओं की बढ़ती संख्या वाले नियमित बहुभुजों का क्रम प्राप्त होता है, इसलिए हम भुजा की संख्या बढ़ाते हैं। |
 | पूर्ण ग्राफ़: प्रत्येक शीर्ष को दूसरे शीर्ष से जोड़ें, और इसी प्रकार आगे भी। |
 | हम वर्ग को एक इकाई से बड़ा करते हैं, और एक अतिरिक्त पंक्ति, एक अतिरिक्त स्तंभ और कोने को भरने के लिए एक और वर्ग जोड़ते हैं। |
 | त्रिभुजों की एक पंक्ति जोड़ी जाती है। यह त्रिभुज पिछली आकृति के त्रिभुज से दो अधिक है। |
 | इसे प्रत्येक भुजा के भीतरी भाग को हटाकर उत्पन्न किया जाता है और हर बार इसकी प्रत्येक भुजा पर तीन नए त्रिभुज बनाए जाते हैं। |
1.6 इसका पता लगाएँ:
1) नियमित बहुभुजों की श्रृंखला में प्रत्येक आकृति की भुजाओं की संख्या गिनें। आपको कौन सा संख्या क्रम प्राप्त होता है? नियमित बहुभुजों की श्रृंखला में प्रत्येक आकृति के कोनों की संख्या के बारे में क्या? क्या आपको वही संख्या क्रम प्राप्त होता है? क्या आप इसका कारण बता सकते हैं?
उत्तर:
नियमित बहुभुजों की भुजाओं की संख्या का क्रम = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
नियमित बहुभुजों के कोनों की संख्या का क्रम = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
हां, यह वही संख्या अनुक्रम है।
इन आकृतियों की भुजाओं की लंबाई बराबर है और कोण भी बराबर हैं, इसीलिए कोनों और भुजाओं की संख्या समान है।
2) पूर्ण ग्राफों की श्रृंखला में प्रत्येक आकृति में रेखाओं की संख्या गिनें। आपको कौन सा संख्या क्रम प्राप्त होता है?
उत्तर:
पूर्ण ग्राफों की रेखाओं की अनुक्रम संख्या = 1, 3, 6, 10, 15
3) स्टैक्ड स्क्वेयर्स की अनुक्रम में प्रत्येक आकृति में कितने छोटे वर्ग हैं? इससे कौन सा संख्या अनुक्रम प्राप्त होता है? क्या आप इसका कारण बता सकते हैं?
उत्तर:
स्टैक्ड स्क्वेयर्स के अनुक्रम में छोटे स्क्वेयर्स की संख्या = 1, 4, 9, 16, 25
स्टैक्ड स्क्वेयर्स में किसी भी आकार की तस्वीर का वर्ग बनाया जा सकता है। इसीलिए संख्या अनुक्रम किसी भी संख्या का वर्ग होता है।
4) स्टैक्ड ट्रायंगल्स की इस अनुक्रम में प्रत्येक आकृति में कितने छोटे त्रिभुज हैं? इससे कौन सा संख्या अनुक्रम बनता है? क्या आप इसका कारण बता सकते हैं? (संकेत: अनुक्रम की प्रत्येक आकृति में, प्रत्येक पंक्ति में कितने त्रिभुज हैं?)
उत्तर:
स्टैक्ड त्रिभुजों के अनुक्रम में छोटे त्रिभुजों की संख्या = 1, 4, 9, 16, 25
5) कोच स्नोफ्लेक अनुक्रम में एक आकृति से दूसरी आकृति तक पहुँचने के लिए, प्रत्येक रेखाखंड '—' को एक 'स्पीड बम्प' से बदल दिया जाता है। जैसे-जैसे इसे बार-बार दोहराया जाता है, परिवर्तन छोटे होते जाते हैं और रेखाखंड बहुत छोटे हो जाते हैं। कोच स्नोफ्लेक की प्रत्येक आकृति में कुल कितने रेखाखंड हैं? संगत संख्या अनुक्रम क्या है? (उत्तर 3, 12, 48, …, यानी 3 गुना 4 की घातें हैं; यह अनुक्रम तालिका 1 में नहीं दिखाया गया है।)
उत्तर:
संबंधित संख्या अनुक्रम = 3, 12, 48, 192, 768 है।